数え上げの数学

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1. 分け方を数える

n n個の球をm個の箱に分ける方法

n 2項係数,スターリング数,分割数

n ガチャポンとスターリング数

n n個の同種粒子をm個の量子状態に入れる方法

2. 包除原理を使う

n 重なりが均等な場合の包除原理

n 完全順列

n フィーリングカップル5vs5

n ガチャポンが全種類そろう確率

n ガチャポンが全種類そろうまでの平均回数

n 補足 - 2項係数の反転公式

n 補足 - 2項係数nCmのmについての和の公式

3. 期待値を使う

n ガチャポンを全種類集めるまでの回数

n すごろくが後戻りなしで上がれる確率

n 確率pで起きる事象がk回起きるまでの試行回数

n 確率pで起きる事象が連続してk回起きるまでの試行回数

n ガチャポンを全種類集めるまでの回数（等確率でない場合）

4. 素直に計算する

n 「帰れま10」で注文する品数の期待値

n 日本シリーズで第7戦までいく確率

n クラスに同じ誕生日の人がいる確率

n 双子が同じクラスになる確率

n 補足 - 2項係数nCmのnについての和の公式

5. 漸化式を使う

n じゃんけんで1人だけ勝ち残る確率

n じゃんけんで1人を決めるまでの平均回数

n コイントスで表が連続して出る確率（漸化式その１）

n コイントスで表が連続して出る確率（漸化式その２）

n コイントスで表が連続して出る確率（漸近形）

n コイントスで表が連続してk回でるまでの試行回数

n チェーンメールがどこかで止まる確率

n 「金額別ターンテーブル」でパーフェクトが出る確率

n デュースで決着がつくまでのポイント数

n 補足 - ガンマ関数のテイラー展開

n 補足 - 幾何確率変数

n 補足 - 2項係数の母関数、あるいはnを実数に拡張した2項定理

6. 確率のパラドックス

n スミス氏の子供たち

n サンクトペテルブルクのパラドックス

n 2つの封筒

n モンティ・ホール問題

n ベンフォードの法則

n いろいろな数列の最上位の数字

n 非推移的なサイコロ

n 検査で陽性になったとき本当に病気である確率

n 補足 - ベイズ推定

n 補足 - ワイルの均等分布定理

7. ランダムウォーク

n ランダムウォークで位置xにいる確率

n ランダムウォークで正側x≧0を歩いている時間

n ランダムウォークでt=2nに初めて原点x=0に戻る確率

n ランダムウォークで正側x≧0を歩いている時間の式の証明

n ランダムウォークでいつかは原点x=0に戻って来る確率

n ランダムウォークで原点x=0に戻って来るまでの時間

n 補足 - 2項係数のガウシアンによる近似

n 補足 - n回目に初めて事象が起きる確率

n 補足 - カタラン数

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最終更新　2020.08.09　zakii