重なりが均等な場合の包除原理

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包除原理とは、和集合の要素数を積集合の要素数で次のように表せることをいう。

ここで、集合Aの要素数を|A|、集合の和を+、集合の積を ・と書いている。

集合Akを確率の事象Ak、集合の要素数|A|を確率P(A)と読みかえても同じで

特に

のように各事象の確率が均等でかつその重なりの確率も均等な場合の包除原理は次のように書ける。

この式を使うと、あるm個の事象A1からAmが起きてその他の(n-m)個の事象Am+1からAnは起こらない確率が計算できる。

ここP(B)等は事象Akの個数で決まることと、Bm個の事象であることに注意すれば、

結局、あるm個の事象A1からAmが起きてその他の(n-m)個の事象は起こらない確率は

特にm=0の場合はもともとの包除原理の式と同じになる。

◇◇

上記の式に2項係数の反転公式を適用すると (補足-2項係数の反転公式)

を代入して

となるが、この右辺はA1からAmが起きてその他は起きた場合と起きない場合を全部足したものだから、実は自明な式である。したがって逆に、この式に2項係数の反転公式を適用すると上記の式がえられる。

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ちなみに上記の式は独立でない事象に使えることに注意。事象Akが互いに独立な場合とは、重なり部分の確率がそれぞれの確率の積にちょうど等しい

という特別な場合である。この場合は上記の式を使わなくても

と計算できてしまい、特に事象が均等な場合は

と、当然のことながら上記の式と一致する。


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