ランダムウォークで正側x0を歩いている時間

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・ランダムウォークで、正側x0と負側x0を均等に歩く確率はt=10Δtのとき6%

・ランダムウォークで、ずっと正側x0だけを歩く確率はt=10Δtのとき18%

・つまり、正側x0か負側x0かどちらか一方に偏って歩く傾向が強い

・しかもこの傾向は時間tとともに強まっていく

前項で見たように、ランダムウォークで、ある時刻tに位置xにいる確率は、原点x=0付近が最も高くてしかも正負対称である。したがって最もよくありそうなのは、正側x0と負側x0を均等に行ったり来たりしながら原点付近をうろつく経路のような気がするが、実際には正負どちらか一方だけを歩く経路の方が多い。この結果は意外な感じがするが、どんな経路にも正負を反転した対称な経路が存在するので、全経路を考えると位置の分布は正負対称になり矛盾していない。以前、コイントスで表が連続して出る確率で見たように、人はランダムと聞くと均等な分布をイメージしてしまうようである。

() 「正側x0を歩く」とは、1歩の前後がともに正側x0にあることと定義する

以下では簡単のため一歩の単位をt=1,x=1とする。求めたいのは、t=0からt=2nまでの間に正側x0を歩いている時間が2kである確率p2k,2nである。結果は

と意外にシンプルなので導けそうな気もするが、「確率論とその応用(2)(フェラー)の第III章と第XIII章には、定理と証明という天下り的な形でしか載っておらず、しかも結果にたどりつくまでが長い。そこで導出はあきらめて証明は次項で示すことにする。

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p2k,2nのグラフを描いてみると、正側x0と負側x050%ずつ均等に歩く確率よりも、どちらか一方だけを歩く確率の方が高くなっていることがわかる。

 

n=10からn=100とより長い時間で観測すると、どちらか一方だけを歩く傾向が強くなっていることがわかる。

 

なお、2項係数の漸近形(→補足-2項分布の正規分布による近似

を使うp2k,2nの漸近形が求められる。


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