ランダムウォークで正側x≧0を歩いている時間

・ランダムウォークで、正側x≧0と負側x≦0を均等に歩く確率は

　t=10Δtのとき6%

・ランダムウォークで、ずっと正側x≧0だけを歩く確率は

　t=10Δtのとき18%

・つまり、正側x≧0か負側x≦0かどちらか一方に偏って歩く傾向が強い

・しかもこの傾向は時間tとともに強まっていく

前項で見たように、ランダムウォークで、ある時刻tに位置xにいる確率は、原点x=0付近が最も高くてしかも正負対称である。したがって最もよくありそうなのは、正側x≧0と負側x≦0を均等に行ったり来たりしながら原点付近をうろつく経路のような気がするが、実際には正負どちらか一方だけを歩く経路の方が多い。この結果は意外な感じがするが、どの経路にも正負を反転した対称な経路が存在するので、全経路を考えると矛盾していない。以前、コイントスで表が連続して出る確率で見たように、人はランダムと聞くと均等な分布をイメージしてしまうようである。

(注)「正側x≧0を歩く」とは、1歩の前後がともに正側x≧0にあることと定義する

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以下では簡単のため一歩の単位を⊿t=1,⊿x=1とする。求めたいのは、t=0からt=2nまでの間に正側x≧0を歩いている時間が2kである確率p_2k,2nである。結果は

と意外にシンプルなので導けそうな気もするが、「確率論とその応用(第2版)」(フェラー)の第III章と第XIII章には、定理と証明という天下り的な形でしか載っておらず、しかも結果にたどりつくまでが長い。そこで導出はあきらめて証明は次項で示すことにする。

◇◇

n=10のときp_2k,2nのグラフを描いてみると、正側x≧0と負側x≦0を50%ずつ均等に歩く確率よりも、どちらか一方だけを歩く確率の方が高くなっていることがわかる。

n=100と長い時間では、どちらか一方だけを歩く傾向が強くなることがわかる。

なお、2項係数の漸近形(→補足-2項係数のガウシアンによる近似)

を使うとp_2k,2nの漸近形が求められて、両端k=0,nが大きくなることがわかる。

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