クラスに同じ誕生日の人がいる確率

・40人のクラスに自分と同じ誕生日の人がいる確率は10%

・40人のクラスに同じ誕生日の人がいる確率は 89%

・サッカーの試合で選手22人と審判1人の中に同じ誕生日の人がいる確率は50%

・ある属性(n通り)が同じ人がいる確率が50%になるには1.18√n人集めればよい

「同じ誕生日の人がいる確率が50%以上になるには何人集めればいいか？」という問題で、直観的には100人以上集めないとだめな気がするが、答えはなんと23人で十分である。これは誕生日のパラドックスという有名な問題らしく、「反直観の数学パズル」(ジュリアン・ハヴィル)で知った。この答えが意外と感じるのは「自分と同じ誕生日の人がいる確率」と勘違いしてしまうからであろう。

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m人の中で自分と同じ誕生日がいる確率は、残りの(m-1)人全員が自分の誕生日と異なる確率(364/365)を1から引けばいいから

例えば、40人のクラスで自分と同じ誕生日の人がいる確率は10%になる。私の記憶では小中高の8クラスのうち2クラスで同じ誕生日の人がいたので、そんなに外れていない。

一方、誰でもいいから同じ誕生日の人がいる確率は、m人全員が異なる誕生日である確率を1から引けばいいから

例えば、40人のクラスで同じ誕生日の人がいる確率は89%もある。自分と同じ誕生日の人は覚えていても他人と同じ誕生日の人は覚えていないので、この確率を体験することがないのが意外に感じる理由ではないだろうか。

これら２つの確率の違いはグラフにして見るとよくわかる。

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「直感を裏切る数学」(神永正博)という本に、式(1)と(2)の差の説明が載っていた。

式が見やすくなるように365をnとおいて、式(2)を1/n(≪1)の1次で近似すると

これを式(1)と比べると

べき乗が、(1')では自分以外の人数m-1であるのに対し、(2')ではm人中のペアの数m(m-1)/2になっている。ペアの数はmの2乗で増えるので確率が大きくなるというわけである。

逆にいうと、p(m)が50%になる母数mは

をmについて解いて

つまりnの平方根の母数mだけ集めれば同じペアが50%の確率でできる。誕生日の場合n=365はm=22.5人集めればよい。もっと一致しにくいDNA鑑定の場合n=10¹²でもm=10⁶=100万人集めればよい。ただしDNA鑑定を使うのは、あるDNAをある集団内のDNAと照合する場合なので、式(2)ではなく式(1)の確率を使うことになると思う。

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(補足) 鳩の巣原理

さてここまで知ると、365人以上の人が集まると同じ誕生日の人達が必ずいるのは当たり前に感じられるが、初めて「学校の中に同じ誕生日の人が必ずいる」と聞いたときは意外に感じた。これは鳩の巣原理「n羽(n>m)の鳩をm個の巣箱に入れると2羽以上の鳩が入る巣箱が必ず存在する」というもので、学校の数学では習わないが有名らしい。一見、当たり前すぎてつまらない原理に見えるが、鳩の巣原理で証明できる当たり前でない命題もある。

・パーティの参加者の中には、その中にいる友人の数が同じ人が少なくとも２人いる

・1から100までの自然数から51個を選ぶと、必ず約数・倍数の関係にある２つの数がある

・平面上に2n個の点がある。このときどの点にも触れずにn個とn個に分ける直線が引ける

これらはたしか「数学迷宮」(小島寛之)に載っていたもので、どれも意外でおもしろい。

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