補足 - 幾何確率変数

[] [] []


確率変数は変数と呼ばれているが、実際には確率事象ωに数値を割り当てた関数X(ω)である。一般に、事象ω(サイコロの5の目が出る)そのものよりもその事象に対応する数値(5)の方に興味があるので、次のようにωでなくXを使って書いた方が都合がよい。

確率変数Xがある値xをとる確率

期待値は

コイントスを確率変数で表す見方は2とおりあり、

(1) ベルヌーイ確率変数は、コイントスする回数が決まっていて何回Hが出るかという値

(2) 幾何確率変数は、Hが出る回数が決まっていて何回コイントスすればいいかという値

である。整理すると次表のようになる。

 

確率変数

確率分布

期待値

母関数

ベルヌーイ

確率変数

イントス1回中Hが出る回数

ベルヌーイ

確率変数の和

(2項確率変数)

コイントn回中H出る回数

幾何確率変数

H1回出るまでのコイントス回数

幾何確率変数

の和

Hk出るまでのコイントス回数

ここで確率変数の和とは、11回の試行は独立していて確率分布は同じ(independent and identically distributed)という条件で和をとったものである。

確率変数の和の期待値は線形性から1回分のn倍になり、

確率変数の和の母関数は、n回が互いに独立だから1回分のn乗になることを使っている。

◇◇

例としてn回中kHが出る期待値を計算してみる。

ベルヌーイ確率変数を使うと

一方、幾何確率変数を使うと

この級数は有限の和で表せる。以下の計算は「確率論とその応用vol.1(フェラー)によっている。

q=1-pおいて、右辺の級数を

とおくと、これの1微分は閉じた式で書けて(補足- nを実数に拡張した2項定理)

部分積分を繰り返すと

したがって求める期待値は

例えばp=q=1/2ときは

2

3

4

5

6

7

8

9

10

...

50

E[k/G]

0.614

0.579

0.561

0.549

0.541

0.535

0.531

0.528

0.525

...

0.505

とベルヌーイ確率変数を使って求めた値

より大きくなる。これはベルヌーイ確率変数のときはn回の途中でkHが出てしまっても必ずn回コイントスするのに対して、幾何確率変数のときはkHが出たら試行をやめるからである。


[] [] []