補足 - 幾何確率変数
確率変数は変数と呼ばれているが、実際には確率事象ωに数値を割り当てた関数X(ω)である。一般に、事象ωそのもの(サイコロの5の目が出る)よりもその事象に対応する数値(5)の方に興味があるので、次のようにωでなくXを使って書いた方が都合がよい。
確率変数Xがある値xをとる確率は
期待値は
◇
コイントスを確率変数で表す見方は２とおりある。
(1) ベルヌーイ確率変数は、コイントスする回数が決まっていて何回Hが出るかという値
(2) 幾何確率変数は、Hが出る回数が決まっていて何回コイントスすればいいかという値
整理すると次表のようになる。
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確率変数 |
確率分布 |
期待値 |
母関数 |
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ベルヌーイ 確率変数 |
コイントス1回中Hが出る回数
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ベルヌーイ 確率変数の和 (２項確率変数) |
コイントスn回中Hが出る回数
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幾何確率変数 |
Hが1回出るまでのコイントス回数
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幾何確率変数 の和 |
Hがk回出るまでのコイントス回数
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ここで確率変数の和とは、1回1回の試行は独立していて確率分布は同じ(independent and identically distributed)という条件で和をとったものである。
確率変数の和の期待値は線形性から1回分のn倍になり、
確率変数の和の母関数は、n回が互いに独立だから1回分のn乗になることを使っている。
◇◇
例として、n回中k回Hが出る確率を計算してみる。
ベルヌーイ確率変数を使うと、n回中Hが出る回数の期待値をnで割って
一方、幾何確率変数を使うと、Hがk回出るまでの試行回数の期待値でkを割って
この級数はlogと有限の和で表せる。(→補足- 2項係数の母関数、あるいはnを実数に拡張した2項定理)
したがって求める期待値は
例えばp=1/2のときは
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k |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
... |
50 |
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E[k/G] |
0.614 |
0.579 |
0.561 |
0.549 |
0.541 |
0.535 |
0.531 |
0.528 |
0.525 |
... |
0.505 |
とベルヌーイ確率変数を使って求めた値
より大きくなる。これはベルヌーイ確率変数のときはn回の途中でk回Hが出てしまっても必ずn回コイントスするのに対して、幾何確率変数のときはk回Hが出たら試行をやめるからである。