コイントスで表が連続して出る確率(漸近形)
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・n回コイントスして表が連続する最大回数の期待値はlog2(n) - 0.67 ・この期待値の標準偏差はnに関わらず±1.85であり、かなり正確である |
前項の漸化式による計算結果は正確ではあるが、閉じた式でないので期待値などを計算するのには適さない。先の文献 "The Longest Run of Heads"(Schilling)には幾何確率変数X(→補足-幾何確率変数)を使ってHのランの最大長Rnの分布の漸近形を求める方法も載っている。
前項ではn回のコイントスの中に長さいくつのHのランが現れるかと考えたが、別の見方をして、Tが出るたびに仕切り直して長さいくつ(長さ0も含む)のHのランが起きるかという試行を繰り返していると考える。試行回数はTの出る回数の期待値n/2回である。すなわち、n回のコイントスの中のHのランの最大長Rnを求めることは、n/2回の試行で「Hのラン長X」の最大長を求める問題になる。
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この見方をすると、きちんと計算をしなくてもランの長さが大まかに見積もれる。コイントスn回中Tが出る回数は平均n/2回で、Tの後にHがk回連続して出る確率1/2kをかけたn/2 k+1回が、n回中に長さkのランが起きる回数になる。ランが1回起きるとしてkを逆算するとランの長さが求まる。
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n/2回の試行でランの最大長がkになる確率を計算する。
まず1回の試行において長さkのHのラン(Hがk回続いて最後にT)が起きる確率は
したがって長さk以下のHのランが起きる確率は
これをn/2回繰り返してHのランの長さがすべてk以下すなわち最大長がk以下になる確率は
となる。前項の結果
と比べるために整数kを実数xに置き換えて確率密度関数を求めると
確率密度がピークになるxを求めると
すなわちピークはxが
のとき。前項の正確な分布と比べると、1/2だけ右に平行移動した方が一致するので、補正すると
となる。
グラフを描いてみると、n=64ぐらいから正確な分布とほぼ一致する。
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さらに、このピーク付近の漸近形を求めることができ、それを使って期待値と分散が計算できる。以下の計算は「極値統計学(グンベル)」という本に書いてある一般的な方法によっている。
まず元の確率分布をピークの周りでテイラー展開する。といっても指数関数なのでxの式をx-un の式に変形するだけで済み
したがって
ここで
であり、un=log2(n)-2はnの増加に比べればほぼ定数と見なせるので
累積確率分布の漸近形は2重指数関数になる。
また確率密度の漸近形は
グラフを描いてみると(赤が元の分布で、青が漸近形)、n=64ぐらいから漸近形はかなりよい近似になる。
期待値や分散を計算するためにモーメント母関数を求めるとΓ関数になる
ガンマ関数を1のまわりでテイラー展開すると(→補足 - ガンマ関数のテイラー展開)
これとモーメント母関数
とをzの項別に比較して
したがって期待値は
1/2だけ補正した値では
分散は
標準偏差は
結局、n回のコイントスで表(H)が連続して出る最大回数の期待値はlog2 n-0.67、その標準偏差はnに関わらず1.85と小さいのでかなり正確である