コイントスで表が連続して出る確率 (漸近形)

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n回コイントスして表が連続する最大回数はlog2 n - 0.67 (期待値)と推定できる

・この推定値の標準偏差はnに関わらず±1.9であり、かなり正確である

前項の漸化式による計算結果は正確ではあるが、閉じた式でないので期待値などを計算するのには適さない。先の文 "The Longest Run of Heads"(Schilling) は幾何確率変数X (→補足-幾何確率変数)を使ってHのランの最大長Rnの分布の漸近形を求める方法も載っている。

前項ではn回のコイントスの中に長さいくつのHのランが現れるかと考えたが、別の見方をして、Tが出るたびに仕切り直して長さいくつ(長さ0も含む)Hのランが起きるかという試行を繰り返していると考える。試行回数はTの出る回数の期待値すなわちn/2回である。するとn回のコイントスの中のHのランの最大長Rnを求めることは、n/2回の試行で得られる「Hのラン長X」の中の最大長を求める問題になる。

1回の試行において長さkHのラン(Hk回続いて最後にT)起きる確率は

したがって長k以下のHのランが起きる確率は

これn/2回繰り返してHのランの長さがすべてk以下すなわち最大長がk以下になる確率は

となる。前項の結果

と比べるために整数kを実数xに置き換えて確率密度関数を求めると

確率密度がピークになx求めると

すなわちピークはx

のとき。前項の正確な分布と比べると、1/2だけ右に平行移動した方が一致するので、補正すると

となる。

グラフを描いてみると、n=64ぐらいから正確な分布とほぼ一致する。

さらに、このピーク付近の漸近形を求めることができ、それを使って期待値と分散が計算できる。以下の計算は「極値統計学(グンベル)」という本に書いてある一般的な方法によっている。

まず元の確率分布をピークの周りでテイラー展開する。といっても指数関数なのでxの式をx-un の式に変形するだけで済み

したがって

ここで

でありun=log2(n)-2nの増加に比べればほぼ定数と見なせるので

累積確率分布の漸近形は2重指数関数になる。

また確率密度の漸近形は

グラフを描いてみると(赤が元の分布で、青が漸近形)n=64ぐらいから漸近形はかなりよい近似になる。

期待値や分散を計算するためにモーメント母関数を求めるとΓ関数になる

ガンマ関数を1のまわりでテイラー展開すると(補足 - ガンマ関数のテイラー展開)

これとモーメント母関数

とをzの項別に比較して

したがって期待値は

1/2だけ補正した値では

分散は

標準偏差は

結局、

 n回のコイントスで表(H)が連続して出る最大回数の期待値はlog2n-0.67、その標準偏差はnに関わらず1.9と小さいのでかなり正確である


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