補足 - 2項係数のガウシアンによる近似
2項係数(2項分布)をガウシアン(正規分布)で近似する式を導く。以下の計算は「確率論とその応用I(第2版)」(フェラー)のVII章によっている。
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2項分布において
求めたいのは、nが大きい(1≪n)ときの中心付近(1≪k≪n）の分布であるから
とおくと
n!をスターリングの漸近式
を使って近似し、δの高次の項は無視すると
分母の対数をとりテイラー展開して計算すると
この分母を使うと
と2項係数(2項分布)のガウシアン(正規分布)による近似式が求められた。
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この近似はどのくらい一致しているのだろうか。表計算ソフトでグラフを描いてみると、nが小さいとき(n=16)でも見た目ではわからないぐらい一致しているので、かなりよい近似である。
