補足 - 2項分布の正規分布による近似

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2項分布を正規分布(ガウス分布)で近似する式を導く。以下の計算は「確率論とその応用(2)(フェラー)VII章によっている。

2項分布において

求めたいのは、nが大きい(1n)ときの中心付近(1kn)の分布であるから

とおくと

n!スターリングの漸近式

を使って近似し、δの高次の項は無視すると

分母の対数をとりテイラー展開して計算すると

この分母を使うと

2項分布の正規分布(ガウス分布)による近似式が求められた。

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この近似はどのくらい一致しているのだろうか。表計算ソフトでグラフを描いてみると、nが小さいとき(n=16)でも見た目ではわからないぐらい一致しているので、かなりよい近似である。


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