補足 - ワイルの均等分布定理
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【ワイルの均等分布定理 equidistribution theorem】 無理数の整数倍の小数部は 0から1の間に一様分布する |
この定理の意味を図形的に説明すると、
「円の角度2π nα(n=1,2,...)の場所に点を打っていくと、αが無理数ならば点は円周上に均等に敷き詰められる」
となる。もしαが有理数k/mならば、遅くてもm番目には1番目の点に重なってしまうので、点は飛び飛びにしかならない。
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定理を数式で表すと、nαの小数部のうち0から1の間の任意の区間[a,b]内に入っている割合は長さb-aに等しいと表せる。
ここでmod 1は1で割った余りすなわち小数部を表し、#{ }は集合の要素の個数を表す。
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この定理の証明を見たいと思って探したら、「フーリエ解析大全」(ケルナー)という本に載っていたので、あらすじを示す。
まず、より一般的な周期関数f(θ) = f(θ+2π) に対して、f(θ)が連続ならば
が成り立つことを示す。これが示せれば矩形関数
のときが式(1)に相当する。厳密に言うと式(2)のf(θ)は連続でなければならないが、この不連続な矩形関数は任意のεに対して次図のような連続な台形関数f+(θ)とf-(θ)ではさめるので大丈夫である。
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続いて、式(2)を証明する。
一般に、連続な周期関数f(θ) =f(θ+2π) は三角多項式P(θ)で近似できる(一様収束する)。
（この式は自明ではないが、フーリエ級数としてお馴染みなので、そのまま認めることにする）
そこでf(θ)の代わりに三角多項式について式(2)を示せればよい。
三角多項式について項別に、式(2)の両辺を計算してみると
m＝0のとき
となり、両辺は等しい。
m≠0のとき
となり、やはり両辺は等しい。結局、三角多項式について式(2)が成り立つ。
したがって、式(2)を三角不等式 |a-b|=|a-a'+a'-b'-(b-b')|≦|a-a'|+|a'-b'|+|b-b'|を使って評価すると
となり、式(2)が示せた。
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数列nαに限らず、一般の実数列xnについても小数部が0から1の間に一様分布するかが同様にしてわかる。
なぜなら、上記の証明の中で数列nαの性質を使っているのは、
の所だけなので、これが成り立つかが均等分布するかの分かれ目になる。
したがって、任意の整数m≠0に対して
が成り立てば、数列xnの小数部は0から1の間に均等分布する【ワイルの基準Weyl's criterion】