確率pで起きる事象がk回起きるまでの試行回数
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・確率pで起きる事象が起きるまでの試行回数の期待値は1/p ・確率pで起きる事象がk回起きるまでの試行回数の期待値はk/p |
「数学超絶難問」(小野田博一)という本に、「1回の素潜りでリュウグウノツカイに出会う確率がpだとすると、出会うまでに潜る回数の期待値は?」という問題が載っている。リュウグウノツカイに出会う確率なんて言われると面食らってしまうが、サイコロで1の目が出るまでの回数と考えれば確率1/6の逆数の6回になるから、たぶん1/p回と想像がつく。
答えを見ると、期待値をEとおいて
(i) 1回目に出会う場合、確率はpで回数は1
(ii) 1回目に出会わない場合、確率は(1-p)で回数は(E+1)回
したがって期待値Eの方程式が作れて
と、これでいいのか不安になるほど簡単な解法である。素朴な解法は、最初のn-1回起きずにn回目で初めて起きる確率を使って期待値を計算すればよいから
と確かに同じ答えになるが、期待値の方程式を使う方がずっと簡単である。
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この問題を少し拡張してみる。
(問題1) 確率pで起きる事象がk回起きるまでの試行回数の期待値Ekは?
(期待値の方程式による解法)
(i) 1回目に起きた場合、確率はpで回数はあとEk-1回
(ii) 1回目に起きない場合、確率は(1-p)で回数はあとEk回
したがって期待値Ekの方程式が作れて
つまり1回おきるまでの試行回数1/pをk回足したものになる。
(素朴な解法)
ちょうどn回目にk回目が起きる確率を使って期待値(母関数の微分)を計算する。
n-1回目までのどこかでk-1回起きて、n回目にk回目が起きればよいから、母関数は
この級数は閉じた式で表せて(→補足- 2項係数の母関数、あるいはnを実数に拡張した2項定理)
期待値は母関数の微分から
と確かに同じ答えになるが、この問題も、期待値の方程式による解法の方がずっと簡単である。