デュースで決着がつくまでのポイント数

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・プレーヤの勝率が互角ならば、デュースになってから決着がつくまでの平均ポイント数は4

・決着がつくまで2nポイントかかる確率は(0.5)nと急速に小さくなっていく

・もしデュース(2ポイント差)でなく3ポイント差つけるルールならば、決着がつくまでの平均ポイント数は9

デュース(deuce)とは、テニスやバレーボールで、ゲーム/セットを勝てる得点の1ポイント手前で同点になった状態のことで、一旦デュースになると2ポイント差をつけないと勝てない。このデュースは何ポイントぐらい続くのだろうか。

◇

デュースから決着がつくまでのパターンは、途中までは交互に勝って、最後に一方が２連続で勝つしかない。すなわち２人のプレーヤP,Qの勝った方を順に並べると次表のようになり、2nポイントでPが勝つパターンは(PQ+QP)n PPとなる。同様にQが勝つパターンは(PQ+QP)n QQ。

Pが勝つまでの

ポイント数

勝つ順番

2

 PP

4

 (PQ)PP+(QP)PP

=(PQ+QP)PP

6

 (PQ)(PQ)PP+(PQ)(QP)PP+(QP)(PQ)PP+(QP)(QP)PP

=(PQ+QP)2 PP

...

...

2n+2

(PQ+QP)n PP

したがってP,Qの勝率をp:q(q=1-p)と仮定すると、デュースになってから決着がつくまでのポイント数の期待値は

ここで

だから期待値の範囲は

したがって、デュースになってから決着がつくまでのポイント数は、プレーヤの勝率が互角のときに最大になり４ポイントである

テニスはサーバが有利だから4ポイントより少なくなるはずで、逆にバレーボールはレシーバが有利だから多めになるはずである。

◇◇

この問題の一般なケースは「ギャンブラーの破産問題(Gambler's ruin problem)」として知られているらしい。それは

「プレーヤの１人がnドル、もう１人が(N-n)ドル持っていて、勝った方が1ドルもらう勝負をどちらかが破産するまで続ける。このゲームは何回続くだろうか？」

という問題で、上記のデュースはN=4,n=2のケースに当たる。

破産問題をランダムウォークの言葉に直すと、x=0とNに壁があり、x=nから出発して壁に当たるまでの時間を求めるのと同じである。左右等確率でランダムウォークすると√tで広がっていくので、大体N2の時間がかかることは予想がつくが、ここでは等確率でない場合も含めて計算してみる。なお、ここの計算は「確率論とその応用(第2版)」(フェラー)のXIV章によっている。

まず次のとおり記号を定義する。

　最初の位置x=n

　p,q：　それぞれ単位時間に+1/-1に進む確率。p+q=1

　Tn：　x=0かx=Nの壁に当たるまでの平均時間(期待値)

現在x=nにいるとして、もし次にx=n+1に進んだ場合は壁に当たるまでの時間はTn+1+1、x=n-1に進んだ場合はTn-1+1になるので、漸化式

が得られる。境界条件は

である。通常と異なり、最初の項だけでなく最後n=Nの項が境界条件になっているが解き方は同じである。

の形になるように係数を求めると

p=qのときαは重根になるから場合分けが必要になる。

(i) p=q=1/2のとき

α=1を選ぶと

両辺は差分になっているので、1からnまで和を取って

再び両辺は差分になっているので、0からn-1まで和を取って

境界条件T0=0,TN=0を使ってT1を決めると

結局、p=q=1/2のときの壁に当たるまでの平均時間は

(ii) p≠qのとき

α=q/pを選ぶと

α=1を選ぶと

式(2)-(1)を取って

境界条件T0=0,TN=0を使ってT1を決めると

結局、p≠qのときの壁に当たるまでの平均時間は

◇◇◇

「x=0,Nの壁の真ん中n=N/2から出発して壁に当たるまでの平均時間TN/2」をNで規格化してグラフに描くと、p=1/2のときに最も時間がかかり、予想したとおりTN/2＝N2/4の時間がかかる。デュース(N=4,n=2ポイント差)ならば決着がつくまで4ポイントしかかからないが、もし3ポイント差(N=6,n=3)つけないと勝てないルールにしたら、決着がつくまで平均9ポイントかかってしまうことになる。

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