じゃんけんで1人を決めるまでの平均回数

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3人でじゃんけんをして1人が勝ち残るまでの平均回数は2.25

10人でじゃんけんをして1人が勝ち残るまでの平均回数は24

20人でじゃんけんをして1人が勝ち残るまでの平均回数は1143

1人が勝ち残るまでの平均回数は参加者が1人増えるごとに1.5倍に増えていく

前項で、n人でじゃんけんをするとき

 P(n,1):ちょうどj回目でn人中1人が勝ち残る確率

の漸化式は作れたものの閉じた式が求められないので、期待値を計算するのは無理と思っていたのだが、大阪教育大附属池田の友田勝久先生のページに期待値(と分散)も漸化式で計算する方法が載っていた。確かに、確率の漸化式があるのだから期待値の漸化式を求められるかもしれず、なるほどと思った。以下の計算はそのページによっている。

求めたい期待値は、

ここで漸化式

を使っj1つ下げると

ここの式変形では漸化式でj1つ下げた後にj1つ上げているので右辺にもE(n,1)が含まれているのだが、ともかくもE(n,1)E(n-1,1),...,E(2,1)の関係式が得られており、巧妙な感じがする。さて右辺のE(n,1)の項を左辺に移項すると

ここで前項の結果から

だったから

ここで前項の結果から

だったから、結局n人でじゃんけんをして1人が勝ち残るまでの平均回数E(n,1)を求める漸化式は

と意外と簡単な形になる。

表計算ソフトで計算するのは難しいのでプログラミングして数値計算してみるとグラフのようになった。10人でも平均24回かかるので、全員でじゃんけんするのは数名の場合だけにしておいた方がいい。

 

n

E(n,1)

n

E(n,1)

n

E(n,1)

n

E(n,1)

n

E(n,1)

1

 

11

35

21

1,705

31

96,229

41

5,531,849

2

1.5

12

51

22

2,546

32

144,252

42

8,296,971

3

2.25

13

74

23

3,805

33

216,266

43

12,444,456

4

3.2

14

108

24

5,690

34

324,260

44

18,665,437

5

4.5

15

159

25

8,514

35

486,217

45

27,996,600

6

6.2

16

235

26

12,746

36

729,110

46

41,992,958

7

8.6

17

347

27

19,087

37

1,093,397

47

62,987,014

8

12.1

18

516

28

28,592

38

1,639,763

48

94,477,495

9

17.1

19

767

29

42,840

39

2,459,230

49

141,712,467

10

24.3

20

1,143

30

64,201

40

3,688,328

50

212,563,985

◇◇

なお、友田先生のページでは、期待値の他に分散や、期待値のn1ときの近似式も計算されている。近似式の求め方は、漸化式の第1項が支配的であることから

とおいて右辺に代入し

を使って和を定数のべき乗に直す、という操作を繰り返すというものである。


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