じゃんけんで1人を決めるまでの平均回数
|
・3人でじゃんけんをして1人が勝ち残るまでの平均回数は2.25回 ・10人でじゃんけんをして1人が勝ち残るまでの平均回数は24回 ・20人でじゃんけんをして1人が勝ち残るまでの平均回数は1143回 ・1人が勝ち残るまでの平均回数は参加者が1人増えるごとに1.5倍に増えていく |
前項で、n人でじゃんけんをするとき
Pｊ(n,1)：ちょうどj回目でn人中1人が勝ち残る確率
の漸化式は作れたものの閉じた式が求められないので、期待値を計算するのは無理と思っていたのだが、大阪教育大附属池田の友田勝久先生のページに期待値(と分散)も漸化式で計算する方法が載っていた。確かに、確率の漸化式があるのだから期待値の漸化式もあるかもしれず、なるほどと思った。以下の計算はそのページによっている。
◇
求めたい期待値は、
ここで漸化式
を使ってjを1つ下げると
ここの式変形では漸化式でjを1つ下げた後にjを1つ上げているので右辺にもE(n,1)が含まれているのだが、ともかくもE(n,1)とE(n-1,1),...,E(2,1)の関係式が得られており、巧妙な感じがする。さて右辺のE(n,1)の項を左辺に移項すると
ここで前項の結果から
だったから
ここで前項の結果から
だったから、結局、n人でじゃんけんをして1人が勝ち残るまでの平均回数E(n,1)を求める漸化式は
と意外と簡単な形になる。
表計算ソフトで計算するのは難しいのでプログラムで計算してみるとグラフのようになった。10人でも平均24回かかるので、全員でじゃんけんするのは数名の場合だけにしておいた方がいい。
|
n |
E(n,1) |
n |
E(n,1) |
n |
E(n,1) |
n |
E(n,1) |
n |
E(n,1) |
|
1 |
|
11 |
35 |
21 |
1,705 |
31 |
96,229 |
41 |
5,531,849 |
|
2 |
1.5 |
12 |
51 |
22 |
2,546 |
32 |
144,252 |
42 |
8,296,971 |
|
3 |
2.25 |
13 |
74 |
23 |
3,805 |
33 |
216,266 |
43 |
12,444,456 |
|
4 |
3.2 |
14 |
108 |
24 |
5,690 |
34 |
324,260 |
44 |
18,665,437 |
|
5 |
4.5 |
15 |
159 |
25 |
8,514 |
35 |
486,217 |
45 |
27,996,600 |
|
6 |
6.2 |
16 |
235 |
26 |
12,746 |
36 |
729,110 |
46 |
41,992,958 |
|
7 |
8.6 |
17 |
347 |
27 |
19,087 |
37 |
1,093,397 |
47 |
62,987,014 |
|
8 |
12.1 |
18 |
516 |
28 |
28,592 |
38 |
1,639,763 |
48 |
94,477,495 |
|
9 |
17.1 |
19 |
767 |
29 |
42,840 |
39 |
2,459,230 |
49 |
141,712,467 |
|
10 |
24.3 |
20 |
1,143 |
30 |
64,201 |
40 |
3,688,328 |
50 |
212,563,985 |
◇◇
なお、友田先生のページでは、期待値の他に分散や、期待値のn≫1のときの近似式も計算されている。近似式の求め方は、漸化式の第1項が支配的であることから
とおいて右辺に代入し
を使って和を定数のべき乗に直す、という操作を繰り返すというものである。