チェーンメールがどこかで止まる確率
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n人に配るチェーンメールを受け取った人の割合pの人が止めるとすると ・p=0.5のとき、n=2ならどこかで止まるが、 n=3なら76%、n=4なら91%、n=5なら96%の確率でずっと止まらない ・p≧1-1/nならば、どこかで止まる |
ある人がn人へ「このメールを受け取ったら、n人へメールを送ってください」というメールを出したとき、このチェーンメールはどこかで止まるのだろうか。
まずパラメータとして、メールを受け取った人のうち止める人の割合をpとする。
どこかで止まる確率を直接求めようとすると、最初に受け取ったn人全員が止めたらそこでおしまいで確率はpn、まではすぐわかるが、一部の人が止めなかった場合を考えるとたちまち発散してしまう。
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「確率で読み解く日常の不思議」(ポール・J・ナーイン)という本に、チェーンメールがどこかで止まる確率をPn(p)とおいて、Pn(p)についての方程式を作る方法が載っていた。すなわち
(i) 1人目で止まった場合は、そこでおしまい
(ii) 1人目で止まらない場合は、次のn人全員が止める確率
と場合分けすると
このn次方程式は解析的には解けないが、Pn(p)が0付近と1付近では解ける。
Pn(p)が0付近のときは、(Pn(p))nは無視できるから
Pn(p)が1付近のときはPn(p)=1-εとおいてεの1次まで求めると
結局pが1-1/nより少し小さい所では
またpが1-1/n以上では式(1)の解Pn(p)は1を超えてしまうので
このp=1-1/nという境界値は、メールを止めない人の割合1-pが1/nのとき、すなわち配る人数nとつり合ったときである。
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このPn(p)は最初の人がメールを出さない場合も含んでいるが、知りたいのは最初の人がメールを出した後にどこかで止まる確率(Pn(p))nである。数値計算でPn(p)を求めてグラフを描くと次のようになる。(注：少しカクカクしているのはプロットが粗いからです)
メールを止める人と止めない人が半々(p=0.5)でも、n=3以上だと高い確率でチェーンメールが続くというのは意外な感じがした。もっとも、不幸の手紙の類は実話としては聞いたことがないが、SNSの拡散やネズミ講詐欺のニュースは何度か聞いたことがあるので、止める人の割合pがそこそこ大きくても拡散は止まらない(母数の限界まで達してしまう)、という結果は妥当なのかもしれない。