ガチャポンが全種類そろう確率

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10種類のガチャポンが全種類そろう確率が最も高いのは23回目で4.5%

(ただし、ガチャポンは十分たくさん入っておりどの種類も出る確率は等しいとする)

以前、たけしのコマ大数学科の「10種類のくじを全部引き当てるには何回くじを引けばよいか期待値を求めなさい」という問題を考えて、期待値を使った解法に満足できずに確率自身を求めようとして挫折した(ガチャポンを全種類集めるには)。ところが最近、ネットの「私的数学塾」の個数定理という記事で包除原理を使う計算方法があることを見つけたので、再挑戦してみた。

この問題のポイントは、n種類のくじがあるとしてj回くじを引いた時点でk種類のくじが未入手である確率が簡単に求まることである。

ここで次の記号を定義する。

 A(j)k: j回くじを引いた時点でk番目のくじが未入手である事象

 P(A):事象Aの確率

するとj回くじを引いた時点で1番からk番のくじが未入手である確率は

n種類のくじをj回選ぶ方法はnj通りでこれが分母。このうち1番からk番のくじを除いて選ぶ方法が(n-k)j通りでこれが分子。

ここで、どの種類のくじも出る確率は等しいと仮定しているので

すなわち、この確率はくじの番号には依存せず、何種類の数が未入手かで決まる。

さて、求めたいのはちょうどj回目でn種類全部のくじがそろう確率なので、まず1つ手前のj-1回くじを引いた時点で1種類のくじだけ未入手である確率を求め、次のj回目で最後の1種類を引く確率1/nをかければよい。

j-1回くじを引いた時点で1種類のくじだけ未入手である確率は、1番のくじだけが未入手でかつ2番からk番までのくじはそろっている確率に、未入手のくじ1種類を選ぶ方法の数nC1をかけたもの

これに1/nをかけると、ちょうどj回目でn種類全部のくじがそろう確率 Pjにな

このPを上記のP(A1A2...Ak)を使って表せばよい。

前項(重なりが均等な場合の包除原理)で求めた一般式「あるm個の事象A1からAn-mが起きてその他の(n-m)個の事象は起こらない確率」

を使うと、m=1とおいて

したがってちょうj回目でn種類全部のくじがそろう確率

が求められた。

実際に、n=10類の場合で計算してみると、もっともらしい分布になっている。

Pj (10)

1-9

0%

10

0.036%

11

0.163%

12

0.419%

:

:

22

4.473%

23

4.507%

24

4.471%

◇◇

検証のため特定のjの場合を計算してみる。

まず、n回未満ではn種類そろえるのは不可能なので

になるはずであるが、実は2項係数にk,k2,...,kn-1をかけた和は0になる(→補足-2項係数の和の公式

この公式を使え0になることが確かめられる。

次に、ちょうj=nのときは1回も外れずにn回連続で新しい種類を出す確率だから

になるはずである。2項係数にk,k2,...,kn-2をかけた和は0になるから

ここで公式(→補足-2項係数の和の公式

を使えば、

となj=nのときも正しいことが確かめられた。

最後に確率の和が1になっていることを確かめてみる。jについて無限和を先にとると

ここで公式(→補足-2項係数の和の公式

を使えば

となり、確率の和1になっていることを確かめられた。


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