じゃんけんで1人だけ勝ち残る確率
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・3人でじゃんけんをしてあいこになる確率は1/3 ・3人でじゃんけんをして3回以下で勝ちが1人決まる確率は85% ・10人でじゃんけんをしてあいこになる確率は95% ・10人でじゃんけんをして10回以下で勝ちが1人決まる確率は25% |
学校の授業や会社の研修でグループ討議をしていて最後に誰が発表者するかをじゃんけんで決めることがあるが、人数が多くなるとあいこになる確率が高くなって現実的でない気がする。そこでn人でじゃんけんをして1人だけ勝ち残る(負け残るでも同じ)までの平均回数を計算してみようと思った。この期待値を正攻法で計算するにはまず
Pｊ(n,1)：ちょうどj回目でn人中1人が勝ち残る確率
を求めなければならない。
◇
最初にこの問題を考えたとき、ガチャポンで全種類集めるまでの平均回数を求める問題と似ているので、同様にできるのではないかと考えて
A(j)k： j回目でn人中k番の人が勝ち残っている事象
とおいて、j回目でn人中1番からk番までのk人が勝ち残っている確率P(A(j)1・A(j)2・...・A(j)k)を計算しようと思ったが、ガチャポンのときは1回に多くとも1種類ずつしか増えないのに対してじゃんけんは1回に数人減ることもあるので、この確率自体が閉じた式で求められずに挫折した。
◇◇
しかしj回でなく1回のじゃんけんでn人中k人が勝ち残る確率ならば簡単な式で書ける。
∵n人がグーチョキパーの3とおり出せるので3nが分母。このうちk人だけが勝ち残るのは、k人がグーで他がチョキ、k人がチョキで他がパー、k人がパーで他がグーの場合がありそれぞれnCkとおりあるから3*nCkが分子。
あいこ(k=n)のときは
表計算ソフトで計算してみると、n=10人のとき圧倒的に(95%)あいこになりその他はほぼ同程度であることがわかる。
この1回のじゃんけんでn人中k人が勝ち残る確率を使うと、ちょうどj回目でn人中1人が勝ち残る確率は、1回目でk人(k=2,3,...,n)勝ち残っている状態を経由して
と漸化式が作れる。相変わらずPj(n,1)の閉じた式は求められそうにないのだが、表計算ソフトでグラフを描くと次のようになる。
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Pj(n,1) |
n=2 |
n=3 |
n=4 |
n=5 |
n=6 |
n=7 |
n=8 |
n=9 |
n=10 |
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j= 1 |
67% |
33% |
15% |
6% |
2% |
1% |
0.4% |
0.1% |
0.1% |
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j= 2 |
22% |
33% |
27% |
17% |
10% |
5% |
2.7% |
1.4% |
0.7% |
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j= 3 |
7% |
19% |
23% |
19% |
13% |
8% |
5.0% |
2.8% |
1.5% |
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j= 4 |
2% |
9% |
15% |
17% |
14% |
10% |
6.4% |
3.9% |
2.3% |
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j= 5 |
1% |
4% |
9% |
13% |
13% |
10% |
7.0% |
4.6% |
2.8% |
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j= 6 |
0% |
2% |
5% |
9% |
11% |
9% |
7.1% |
4.9% |
3.2% |
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j= 7 |
0% |
1% |
3% |
6% |
9% |
8% |
6.9% |
5.0% |
3.4% |
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j= 8 |
0% |
0% |
1% |
4% |
7% |
7% |
6.5% |
5.0% |
3.5% |
|
j= 9 |
0% |
0% |
1% |
3% |
5% |
6% |
6.1% |
4.9% |
3.5% |
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j=10 |
0% |
0% |
0% |
2% |
4% |
5% |
5.5% |
4.7% |
3.5% |
特に、n人でじゃんけんをするときn回以下で勝ちが1人決まる確率を求めると、nが増えるにつれて低くなりn=10人のときで25%まで下がってしまう。
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n |
n=2 |
n=3 |
n=4 |
n=5 |
n=6 |
n=7 |
n=8 |
n=9 |
n=10 |
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Σj=1..nPj(n,1) |
88.9% |
85.2% |
79.9% |
72.3% |
62.8% |
52.4% |
42.1% |
32.6% |
24.5% |
◇◇
なお、上記の漸化式は解けないと言ったがn=2,3のときは閉じた式が求められる。
n=2人のとき
n=3人のとき
(補足) n=4人以上のときは漸化式は解けないとあきらめていたが、解いてあるページ「4人でじゃんけんをしてk回目で初めて一人が勝ち残る確率」をネットで見つけた。結果は
と複雑な式である。