ガチャポンを全種類集めるまでの回数
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・10種類のガチャポンを全種類集めるまでは平均29回かかる (ただし、ガチャポンは十分たくさん入っておりどの種類も出る確率は等しいとする)
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たけしのコマ大数学科で、「10種類のくじを全部引き当てるには何回くじを引けばよいか期待値を求めなさい」という問題がおもしろそうだったので、何日か考えてみたのだがとても最後まで計算できそうになく、答えを見たところその異質さに驚いた。その答えというのは、
(1) k-1種類まで集まった時点で次にk種類目が出る確率はak=(10-(k-1))/10。
(出るまでこの確率は変わらない)
(2) k-1種類まで集まった時点で次にk種類目が出るまでには平均1/ak回かかる。
(∵(期待値)×(確率)=1)
(3) k種類まで集まった時点で次にk+1種類目が出るまでには1/ak+1回かかるので、
全種類出るまで平均Σ1/ak回かかる。
このうち(1)は中学高校で習うとおりだが、期待値を(2) (3)のように使うテクニックは中学高校では習わなかったような気がする。実際に値を計算してみると、
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k |
次にk種類目が 出る確率ak |
次にk種類目が 出るまでの回数1/ak |
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1 |
1.0 |
1 |
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2 |
0.9 |
1.111 |
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3 |
0.8 |
1.25 |
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4 |
0.7 |
1.429 |
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5 |
0.6 |
1.667 |
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6 |
0.5 |
2 |
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7 |
0.4 |
2.5 |
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8 |
0.3 |
3.333 |
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9 |
0.2 |
5 |
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10 |
0.1 |
10 |
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Σ |
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29.29 |
この方法ならば、一般にn種類のガチャポン(くじ)を全種類集めるまでの平均回数も求められて
と調和級数(〜nlog(n))のようになる。
◇
私がやろうとした期待値の求め方は、素朴に「ちょうどj回目で10種類のガチャポン全部が集められる確率Pj(j=10,11,...,∞)」を求めてから和Σj*Pjを計算することである。
まずP10は簡単で、1回も外れずに10回連続で新しい種類を出す確率だから
次にP11は、1回目から10回目の間の9箇所に1度だけ外れる回を挿入すればよく、
その次のP12は、2度だけ外れる確率を合計すればよいが、外れを挿入する箇所が増えてこの段階で挫折してしまった。
◇◇
結局、素朴な方法で期待値を求めるのには失敗したが、上記(2)の「k-1種類まで集めた時点で次にk種類目が出るまでの回数Xk」の期待値ならば計算できる。次が当たる確率をak(この値は(10-(k-1))/10だが値自身はわからなくてもよい)とおくと、j回目で当たる確率はj-1回外れた後に1回当たる確率だから求める期待値は
と次が当たるまでの期待値は次が当たる確率akの逆数になることが示せた。
また上記(3)は、「最初からk種類目が出るまでの回数」は確率変数X1+・・・+Xkになるから
という、期待値の線形性を根拠にしている。
◇◇◇
(補足１) その後、ちょうどj回目でn種類のガチャポン全部が集められる確率Pj(n)は、包除原理を使って求められ、期待値もこの項の結果と一致することが確かめられた (→ガチャポンが全種類そろうまでの平均回数)
(補足２) この問題は「クーポンコレクタ問題(Coupon collector's problem)」として知られているらしいのだが、クーポンと言えば割引券しか思い浮かばず、これを集めるという状況が想像つかない。お菓子のおまけを集める状況が一番しっくりくる。ちなみにこの項でくじをガチャポンと呼んでいるのは、コマ大生が期待値を求めるためにガチャポンにいれた10種類のくじを引いていたからである。
結果は平均32回で計算値の29回に近いが、ばらつきは大きそうである。
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北郷 |
53回 |
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無法松 |
23回 |
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アタル |
25回 |
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ダンカン |
27回 |
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平均 |
32回 |