非推移的なサイコロ
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・サイコロを振って大きい目が出た方が勝つ勝負で、 XがYに勝つ確率が0.5超のとき、XはYより強い(Y<X)といえる。 今、目が異なる３つのサイコロA,B,Cで１ペアずつ勝負すると A<B , B<C ならば A<Cといえるか? → 答えは、C<Aになることもある |
この問題は「確率で読み解く日常の不思議」(ポール・J・ナーイン)という本で知った。大小関係が A<B , B<C ならばC<A となるのはあたりまえと思いこんでいるが、数学ではこれを推移的(transitive)と呼んで自明とは考えない。もちろん「３すくみ」の例として「じゃんけん」があるがこれは恣意的に決めたルールであり、サイコロの目のような数の大小関係で３すくみを作れるのは驚きである。実際、この結果が知られたのはそんな昔のことではなく、1959年の「シュタインハウス・トリブヴァのパラドックス(The Steinhaus-Trybula paradox)」が始まりらしい。
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簡単のため6面ではなく2面のサイコロを考えてみる。AとBの勝負では全部で2x2=4組の組み合わせがあるので、A<Bになるには3組でBが勝ちになる必要がある。すなわち、サイコロAの目をa1≦a2≦...などと書くと
A<Bになるにはa1<b1<a2<b2
B<Cになるにはb1<c1<b2<c2
C<Aになるにはc1<a1<c2<a2
したがって2面のサイコロでは3すくみにはできない。
ここで、BがAより強い、つまりBがAに勝つ確率がP(A<B)>0.5になることをA<Bと書いている。
ただ、A<BだがB=C,C=Aと非推移的にはできる。
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次に3面のサイコロを考えると、AとBの勝負では全部で3x3=9組の組み合わせがあるので、A<Bになるには5組以上でBが勝ちになる必要がある。2面のときのように地道に大小関係を考えるのは大変なので、とりあえず大小関係をサイクリックに
a1<b1<c1<b2<c2<a2<c3<a3<b3
としてみると、3面のサイコロでは3すくみができてしまう。
これを6面にするのは同じ目を２個ずつ増やせばよい
ナーインの本には、ローワットのサイコロと呼ばれる例が書いてあり、こっちの方が強さの差が大きい。
なお、本には目の数字が全部異なるように振り直したものが載っているが、本質的には同じである。
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Trybulaの論文”On the paradox of three random variables"には、この強さの差P(X<Y)は(√5-1)/2=0.618よりは大きくできないことも示されている。まず天下り的に、目が出る確率が次のようなサイコロを考える。
A={1,4} P(X=1)=1-p P(X=4)=p
B={2,5} P(X=2)=p P(X=5)=1-p
C={3} P(X=3)=1
このとき勝敗の確率は
P(A<B)=P(A=1 | A=4 & B=5)=(1-p)+p(1-p)=1-p*p
P(B<C)=P(B=2)=p
P(C<A)=P(A=4)=p
したがって3すくみになるのは0.5<p<1/√2=0.707の範囲で、強さの差が最大になるのは1-p*p=pすなわちp=(√5-1)/2のとき
Min{P(A<B), P(B<C),P(C<A)} ≦ (√5-1)/2=0.618
である。この先の証明は追えなかったのだが、どんな目を持ってきてもこの例を超えることはできないということらしい。