確率pで起きる事象が連続してk回起きるまでの試行回数
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・確率pで起きる事象が連続してk回起きるまでの試行回数の期待値は
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前項の(問題1)の別バージョンを、期待値の方程式による解法で考えてみる。
(問題2) 確率pで起きる事象が連続してk回起きるまでの試行回数の期待値Ekは?
(期待値の方程式による解法)
1回目からk回目までに起きた場合は、おしまい
1回目からk-1回目までに起きて、k回目に起きない場合は、あとEk回
...
1回目に起きない場合は、あとEk回
したがって期待値Ekの方程式が作れて
Ekを左辺に集めて
◇
この問題の素朴な計算方法が「確率論とその応用(第2版)」(フェラー)に載っているが、けっこう大変である。
(素朴な解法)
ちょうどn回目に初めてk回目が起きる確率fnを使って期待値(母関数の微分)を計算すればよいが、この確率をいきなり求めるのは難しいので、(n回目より前にも起きた場合も含めて)ちょうどn回目に連続してk回起きる確率unを経由する。(→補足- n回目に初めて事象が起きる確率)
解法のあらすじは、unの母関数U(z)を求めて、これからfnの母関数F(z)=1-1/U(z)を求め、期待値F'(1)を求める。
unの母関数は、u0=1,u1=...=uk-1=0と定義して
まず、上記の期待値の方程式を作ったのと同様にunについて漸化式を作る。n回中の最後に連続k回起きる確率はpkだが、これを最初のn-j回目の時点で連続k回起きて、さらに連続j回起きる確率に分解して、
この漸化式を母関数の方程式に直すためにznをかけてn=k,k+1,k+2,...について和をとると
これでU(z)が求まった。
これから、n回目に初めて連続k回起きる確率の母関数が求められて
したがって、初めて連続k回起きるまでの試行回数の期待値は
と、上記と同じ答えになった。
ちなみに、期待値だけでなく分散も求められる。
