サンクトペテルブルクのパラドックス

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・コイントスをして裏が出るまでトスを続け、裏が出た時点で賞金がもらえる。賞金は、1円から始まって表が出るたびに2倍につりあがっていく。

 このゲームの参加料がいくらまでなら損しないだろうか?

 答えは、参加料がいくら高くても損しない

この問題も「確率・統計であばくギャンブルのからくり(谷岡一郎)」という本に載っていた。参加料に対して損得を見積もるには、期待値を計算するのが普通である。例えば、Loto 6は参加料200円に対して期待値が90円と計算できる。

等級

条件

確率

賞金[]

確率×賞金

1

6個全て一致

1 / 6,096,454

100,000,000

16

2

5個が一致し、

残り1個がボーナス数字に一致

6 / 6,096,454

15,000,000

15

3

5個が一致

216 / 6,096,454

500000

18

4

4個が一致

9,990 / 6,096,454

9,500

16

5

3個が一致

155,400 / 6,096,454

1,000

25

 

期待値[]

90

一般に主催者の取り分があるから期待値100%より低く、Loto 6のような宝くじは50%以下とかなり低く設定されている。それでも買う人がいるのは、確率と賞金のバランスがうまく設計されているということだろう。

冒頭のゲームは、参加料を決めるのに期待値を使う方法が通用しない例になっている。

賞金[]

1

2

2n-1

確率

1/2

1/4

1/2n

なぜなら、期待値を計算すると

と無限大になってしまうからである。つまり参加料が何万円何億円であっても、ゲームを何度も繰り返せば必ず得をするという不思議なことになる。この問題は「サンクトペテルブルクのパラドックス(St.Petersburg Paradox)」という名前で知られているらしい。

このように賞金の期待値が無限大になるゲームの条件は、

・等級が無限にあること。Loto6のように等級が1等からN等までと有限個のゲームでは無限大にならない。

・級数が収束しない程度に賞金が高いこと。賞金を2n円より少し(?)減らして 2n/n2円にすると無限大にならない。

であり、条件自体はそんなに特殊ではないのに冒頭のゲームが不思議に感じられるのはなぜだろうか。

たぶん、もらえそうな賞金が低すぎると感じるからであり、それは大抵の人はせいぜい数回連続ぐらいしか表を出した体験をしていないからである。例えばこのゲームで1000円の賞金を当てようとしたら、おおよそ103=210だから連続9回も表を出さなければならず、割に合わない感じがする。

◇◇

実際にコイントスをしたらどうなるだろうか。実験するのは時間がかかりすぎて大変だが、PC上のシミュレーションならばできるのでやってみた。参加料は11円とし、i回ゲームをしたときの獲得賞金の和Sumiで割ってそれをグラフにした。

'Excel VBAのプログラム

Sub Main()

Dim nGame, i As Long    ' ゲームの試行回数

Dim n As Integer        ' トスの回数

 

nGame = 32000

Sum = 0

For i = 1 To nGame

    n = 0

    Randomize             ' タイマから乱数の種を取得

    Do While (Rnd < 0.5) ' 乱数は0以上1未満

        n = n + 1

    Loop

    If (n > 0) Then Sum = Sum + 2 ^ (n - 1)

    Range("A1").Offset(i, 0) = n

    Range("A1").Offset(i, 1) = Sum / i

Next i

 

End Sub

連続して表がでた回数nの分布が1/2n+1に近かった場合の一例が次のグラフである。獲得賞金/参加料はすぐに1倍を超えているものの、増加はゆっくりで500回目で2倍、その後32000回目でもまだ3倍である。もっとも参加料を32000円払ってその3倍の賞金をもらえたということなので、回数が多くなれば金額も大きくなる。

上記の例では、ゆるやかに増加しているように見えるが、次の例のように150回目で跳ね上がって3倍を超えることもある。

グラフの一般的な特徴として、ときどき表が出続けることがあると跳ね上がり、その後減衰するというのを繰り返すが、長い目で見ると増加傾向にある。この増加率はさまざまで、例えば、獲得賞金が参加料の3になるまでの平均回数が数学的に評価できるのかはよくわからない。


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