補足 - 2項係数nCmのnについての和の公式
本章に出てきた2項係数nCmのnについての和の公式を、ここでまとめて証明しておく。
◇
2項定理から出発する。
公式(1)は、nCmのnを1つずつ下げているので式(0)の左辺をnが1つ下がるように分解して
の両辺のxmの係数を比較すれば
とnを1つずつ下げる漸化式が得られる。これでnをmまで下げていけば
と公式(1)が示せた。
◇◇
公式(2)は、見た目はちがうが公式(1)と同じである。なぜなら
を使えば公式(2)は
と次式になり、これは公式(1)と同じである。
ちなみに式(4)は、2項定理の式(0)を微分した
の両辺のzm-1の係数を比較すれば得られる。