モンティ・ホール問題

・クイズ番組で、３つのドアの１つに車、残り２つに山羊がいる。

　あなたがドアを１つ選ぶと、答えを知っている司会者が

　山羊のいるドアを１つだけ開けてくれて言う、

　「選んだドアを変えますか？それとも最初に選んだドアのままにしますか？」

　→答えは、ドアを変えた方が、車が当たる確率は２倍になる。

この問題は「世界でもっとも奇妙な数学パズル(ジュリアン・ハヴィル)」という本で知った。この番組は「一山当てましょう(Let's Make a Deal)」という実在のもので、司会者の名前をとってモンティ・ホール問題と呼ばれるようになったらしい。

直観的には、選ばなかったドアの少なくとも１つには山羊がいることは既にわかっているから、それを見せてもらっても状況は変わらず、ドアを変える意味はないように思う。実はそれは誤解で、答えを知っている司会者が外れの選択肢を１つ消してくれているので、状況は変わっているのである。このことは、次の極端な場合を考えるとよくわかる。

100個のドアの１つに車、残り99個に山羊がいる。あなたがドアを１つ選ぶと、答えを知っている司会者が山羊のいるドアを98個開けてくれて言う、「選んだドアを変えますか？それとも最初に選んだドアのままにしますか？」

この場合は、司会者が開けなかったドアに車がある確率は非常に高いことが直観的にもわかる。仮に開けてくれるドアが98個でなく1個でも、やはりドアを選び直した方が、確率があがることが何となくわかる。

◇

素直に確率を計算してみよう。ドアにA,B,Cと名前をつけて、最初に選んだドアと車があるドアのすべて組合せについて、当たる(○)か当たらない(×)かを調べればよい。

最初に選んだドア	A	A	A	B	B	B	C	C	C
車があるドア	A	B	C	A	B	C	A	B	C
司会者が開けられるドア	B,C	C	B	C	C,A	A	B	A	C,A
ドアを変えない場合	○	×	×	×	○	×	×	×	○
ドアを変えた場合	×	○	○	○	×	○	○	○	×