モンティ・ホール問題

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・クイズ番組で、3つのドアの1つに車、残り2つに山羊がいる。あなたがドアを1つ選ぶと、答えを知っている司会者が山羊のいるドアを1つだけ開けてくれて言う、

 「選んだドアを変えますか?それとも最初に選んだドアのままにしますか?」

 →答えは、ドアを変えた方が車が当たる確率は2倍になる。

この問題は「世界でもっとも奇妙な数学パズル(ジュリアン・ハヴィル)」という本で知った。この番組は「一山当てましょう(Let's Make a Deal)」という実在のもので、司会者Monty Hallの名前をとってモンティ・ホール問題と呼ばれるようになったらしい。

直感的には、選ばなかったドアの少なくとも1つには山羊がいることは既にわかっているのだから、それを見せてもらっても状況は変わらず、ドアを変える意味はないように思う。実はそれは誤解で、答えを知っている司会者が外れの選択肢を1つ消してくれているので、状況は変わっているのである。このことは、次の極端な場合を考えるとよくわかる。

100個のドアの1つに車、残り99個に山羊がいる。あなたがドアを1つ選ぶと、答えを知っている司会者が山羊のいるドアを98開けてくれて言う、「選んだドアを変えますか?それとも最初に選んだドアのままにしますか?」

この場合は、司会者が開けなかったドアに車がある確率は非常に高いことが直感的にもわかる。仮に開けてくれるドアが98個でなく1個でも、やはりドアを選び直した方が確率があがることが何となくわかる。

素直に確率を計算してみよう。ドアにA,B,Cと名前をつけて、最初に選んだドアと車があるドアのすべて組合せについて、当たる()か当たらない(×)かを調べればよい。

最初に選んだドア

A

A

A

B

B

B

C

C

C

車があるドア

A

B

C

A

B

C

A

B

C

司会者が開けられるドア

B,C

C

B

C

C,A

A

B

A

C,A

ドアを変えない場合

×

×

×

×

×

×

ドアを変えた場合

×

×

×

これら9とおりの組合せは明らかに等確率だから、

ドアを変えない場合に車が当たる確率 = 3/9

ドアを変えた場合に車が当たる確率 = 6/9

となり、ドアを変えた方が確率は2倍になる

◇◇

本には、ベイズの公式

を使った計算も載っている。(補足-ベイズ推定)

ここで次の記号を定義する。

 X: ドアXの向こうに車がある事象

 MX: モンティがドアXを開ける事象

最初に選んだドアをA、モンティが開いたドアをBとすると、求めたいのは

モンティがドアBを開けた後、ドアを変えない場合に車が当たる確率

と、モンティがドアBを開けた後、ドアを変えた場合に車が当たる確率

で、これらを計算して比べればよい。

ここで、最初に選んだドアはAだからモンティはBCを開ける選択肢があり

また車が各ドアの向こうにある確率は等しいから

またA,B,Cは同時に起こらないから

したがって

と、上記で9とおりの組合せから求めたのと同じ結果が得られる。


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