ランダムウォークで原点x=0に戻って来るまでの時間

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1次元のランダムウォークで、原点x=0に戻って来るまでの時間の期待値は無限大 O(√N)

2次元のランダムウォークで、原点x=0に戻って来るまでの時間の期待値は無限大 O(N/(logN)2)

1,2次元のランダムウォークではいつかは必ず原点に戻って来るが、では戻って来るまでの時間はどのくらいになるだろうか

1次元のランダムウォークでt=2nで初めて原点x=0に戻って来る確率f2nの母関数は(f0=0定義して)

であった。原点に戻って来るまでの時間の期待値はF'(1)等しいから

と無限大になってしまうことがわかる。

さらに、発散する速さを計算してみると、ランダムウォークでt=2nに初めて原点に戻る確率で導いた結果から

だから

和を積分で近似すると(単調減少関数なので実際には和は積分よりやや小さい)

したがって

となり、原点に戻って来るまでの時間の期待値は√Nのオーダで発散する

◇◇

1次元の場合でも発散するので、2次元のランダムウォークでは当然発散するだろうが、一応、発散する速さを計算してみよう。

2次元の場合はf2n自身は求められないが、u2nは求められているので、これから間接的に計算することにする。

原点に戻って来るまでの時間の期待値は、母関数の微分F'(1)に等しいので

を計算すればよいことになる。前項の結果から

だったから

和を積分で近似すると(単調減少関数なので実際には和は積分よりやや小さい)

したがって

また

したがって

となり、原点に戻って来るまでの時間の期待値N/(logN)2のオーダで発散する


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