ランダムウォークで原点x=0に戻って来るまでの時間
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原点x=0に戻って来るまでの時間の期待値は ・1次元のランダムウォークでは無限大 O(√N) ・2次元のランダムウォークでは無限大 O(N/(logN)2) |
1,2次元のランダムウォークではいつかは原点に戻って来るが、では戻って来るまでの時間はどのくらいになるだろうか。
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1次元のランダムウォークでt=2nで初めて原点x=0に戻って来る確率f2nの母関数は（f0=0と定義して）
であった。原点に戻って来るまでの時間の期待値はF'(1)に等しいから
と無限大になってしまうことがわかる。
さらに、発散する速さを計算してみると、ランダムウォークでt=2nに初めて原点に戻る確率で導いた結果から
だから
和を積分で近似すると(単調減少関数なので実際には和は積分よりやや小さい)
したがって
となり、原点に戻って来るまでの時間の期待値は√Nのオーダで発散する。
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1次元の場合でも発散するので、2次元のランダムウォークでは当然発散するだろうが、一応、発散する速さを計算してみよう。
2次元の場合はf2n自身は求められないが、u2nは求められているので、これから間接的に計算することにする。
原点に戻って来るまでの時間の期待値は、母関数の微分F'(1)に等しいので
を計算すればよいことになる。前項の結果から
だったから
和を積分で近似すると(単調減少関数なので実際には和は積分よりやや小さい)
したがって
また
したがって
となり、原点に戻って来るまでの時間の期待値はN/(logN)2のオーダで発散する。