フィーリングカップル5vs5

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フィーリングカップル55でカップルができない確率は28%

・フィーリングカップル55で全員カップルになる確率は0.001%

・フィーリングカップル55でカップルが1組できる確率が最も高く47%

・フィーリングカップルnnでできるカップルの数の期待値は、nに関係なく1

1980年ごろのテレビ番組で「フィーリングカップル55」というコーナーがあった。ルールは「男女5人づつが相手を選んで、相手も自分を選んでいたらカップル誕生」というものである。当時、もしフィーリングを無視してランダムに相手を選んだら何カップルできるのだろうか?と思って、計算してみたことがある。

まず、全員がカップルになれる確率は簡単に計算できる。一般にnnとして考えると、男子が相手を選ぶ方法はnn通り、同じく女子が相手を選ぶ方法もnn通り、このうち全員がカップルになる場合の数は男子の隣に女子を並べる方法の数n!通りあるので、求める確率はn!/ n2n通りになる。この確率はかなり低く、n=5の場合、10万回に1回である。しかし、実際には5カップル誕生するのを何回か見たことがあるので、人のフィーリングは結果にかなり反映されていたようである。

m組のカップルが誕生する確率も55以下では計算したが、一般のnnでは見通しのよい計算はできなかった。ところが最近、「入試数学 伝説の良問100(安田亨)という本で、少なくとも1組はカップルができる確率を包除原理を使って求めていたのを見て、一般にm組のカップルができる確率が求められるのではないかと思い、再挑戦してみた。

この問題の第1のポイントは、男子と女子の両方から考えるのでなく男子側だけから見てカップルになれる人数を数えることである。つまり

  X(n,m) n人の男子のうちm人がカップルになる確率

を求めればよい。

この問題の第2のポイントは、k人の男子がカップルになる(他のn-k人の結果は任意)確率が簡単に求まることである。

ここで次の記号を定義する。

  Ak:  k番の男子がカップルになる事象

  P(A):事象Aの確率

すると1番からk番の男子がカップルになる確率は

男子k人が選ぶ方法はnk通り、選ばれた女子k人が選ぶ方法もnk通りでこれらの積が分母。選ばれた女子を男子の隣に並べる方法がnPk通りでこれが分子。

さらにフィーリングは無視して相手は全くランダムに選ぶと仮定しているので

すなわち、この確率は誰がカップルになるかには依存せず、何人カップルになるかで決まる。

さて、求めたいのはn人の男子のうちm人がカップルになる確率なので、1番からm番までの男子m人だけがカップルになる確率に、m人を選ぶ方法の数nCmをかければよく

Pを上記のP(A1A2...Ak)を使って表せばよい。

前項(→重なりが均等な場合の包除原理)で求めた一般式「あるm個の事象A1からAmが起きてその他の(n-m)個の事象は起こらない確率」

を使うと

したがっn人の男子のうちm人がカップルになる確率は

mが特別な値の場合を書き下すと

上記の式n!,n2nいった大きな数字が入っているので、プログラムで計算しやすい形に書き直すと

プログラムで数値を計算してみると次表のようになる。

 

X(n,m)

m=0

1

2

3

4

5

6

7

8

mの期待値

n=2

13%

75%

13%

 

 

 

 

 

 

1

n=3

21%

58%

20%

1%

 

 

 

 

 

1

n=4

26%

51%

21%

2%

0.04%

 

 

 

 

1

n=5

28%

47%

21%

3%

0.1%

0.001%

 

 

 

1

n=6

30%

45%

21%

4%

0.3%

0.007%

0.00003%

 

 

1

n=7

31%

43%

21%

4%

0.4%

0.02%

0.0002%

0.0000007%

 

1

n=8

32%

42%

21%

5%

0.5%

0.03%

0.0008%

0.000007%

0.00000001%

1

◇◇

この表で、カップルの数の期待値を計算すると常に正確に1になっている。そこで、順列の固定点の数の期待値が1だった(完全順列)のと同様に計算できると予想してやってみると、

和をとる順序を入れ替えて

( )内はj=n-1のときだけ1j<n-1のときは0 (→補足-2項係数の反転公式) だからj=n-1の項だけ残って

したがって、フィーリングカップルnnでできるカップルの数の期待値は、n関係なく1組であることが示せた。

◇◇◇

ついでに確率の和が1になっていることも確かめておくと

和をとる順序を入れ替えて

( )内はj=nのときだけ1j<nのときは0 (→補足-2項係数の反転公式) だからj=nの項だけ残って

◇◇◇

mの期待値がnに関係なく1(一定)なので完全順列と同様に、nを大きくしていくと分布は一定値に収束しそうである。

完全順列と違って収束が遅いのだが、十進BASICn=1000まで計算すると次のようになった。

X(1000,0)=36.75%  X(1000,1)=36.82%  X(1000,2)=18.41%  X(1000,3)=6.13%

1/e = 36.79% = X(n,0) = X(n,1) = 2 * X(n,2) = 6 * X(n,3) に収束しそうなのだが、どうやったら示せるのかわからない。


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