フィーリングカップル5vs5

・フィーリングカップル5対5でカップルができない確率は28%

・フィーリングカップル5対5で全員カップルになる確率は0.001%

・フィーリングカップル5対5でカップルが1組できる確率が最も高く47%

・フィーリングカップルn対nでできるカップルの数の期待値は、nに関係なく1組

1980年ごろのテレビ番組で「フィーリングカップル5対5」というコーナーがあった。ルールは「男女5人ずつが相手を選んで、相手も自分を選んでいたらカップル誕生」というものである。当時、もしフィーリングを無視してランダムに相手を選んだら何カップルできるのだろうか？と思って、計算してみたことがある。

まず、全員がカップルになれる確率は簡単に計算できる。一般にn対nとして考えると、男子が相手を選ぶ方法はnⁿ通り、同じく女子が相手を選ぶ方法もnⁿ通り、このうち全員がカップルになる場合の数は男子の隣に女子を並べる方法の数n!通りあるので、求める確率はn!/ n²ⁿ通りになる。この確率はかなり低く、n=5の場合、10万回に1回である。しかし、実際には5カップル誕生するのを何回か見たことがあるので、人のフィーリングは結果にかなり反映されていたようである。

m組のカップルが誕生する確率も5対5以下では計算したが、一般のn対nでは見通しのよい計算はできなかった。ところが、「入試数学　伝説の良問100」(安田亨)という本で、少なくとも1組はカップルができる確率を包除原理を使って求めていたのを見て、m組のカップルができる確率が計算できるのではないかと思い、再挑戦してみた。

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この問題の第1のポイントは、男子と女子の両方から考えるのでなく男子側だけから見てカップルになれる人数を数えることである。つまり

X(n,m)： n人の男子のうちm人がカップルになる確率

を求めればよい。

この問題の第2のポイントは、k人の男子がカップルになる確率(他のn-k人の結果は任意)が簡単に求まることである。

ここで次の記号を定義する。

A_k：　k番の男子がカップルになる事象

P(A)：事象Aの確率

すると1番からk番の男子がカップルになる確率は

∵男子k人が選ぶ方法はn^k通り、選ばれた女子k人が選ぶ方法もn^k通りでこれらの積が分母。選ばれた女子を男子の隣に並べる方法がn!/(n-k)!通りでこれが分子。

さらにフィーリングは無視して相手は全くランダムに選ぶと仮定しているので

すなわち、式(1)の確率は誰がカップルになるかには依存せず、何人カップルになるかで決まる。

さて、求めたいのはn人の男子のうちm人がカップルになる確率なので、1番からm番までの男子m人だけがカップルになる確率に、m人を選ぶ方法の数_nC_mをかければよく、

このPを上記の式(1)を使って表せばよい。

前項(→重なりが均等な場合の包除原理)で求めた「あるm個の事象A₁からA_mが起きてその他の(n-m)個の事象は起こらない確率」の式

を使うと式(2)が式(1)を使って表せて

したがってn人の男子のうちm人がカップルになる確率は

mが特別な値の場合を書き下すと

上記の式はn!,n²ⁿといった大きな数字が入っているので、プログラムで計算しやすい形に書き直すと

プログラムで数値計算してみると次表のようになる。

X(n,m)	m=0	1	2	3	4	5	6	7	8
n=2	13%	75%	13%
n=3	21%	58%	20%	1%
n=4	26%	51%	21%	2%	0.04%
n=5	28%	47%	21%	3%	0.1%	0.001%
n=6	30%	45%	21%	4%	0.3%	0.007%	0.00003%
n=7	31%	43%	21%	4%	0.4%	0.02%	0.0002%	0.0000007%
n=8	32%	42%	21%	5%	0.5%	0.03%	0.0008%	0.000007%	0.00000001%