日本シリーズで第7戦までいく確率
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・もし勝率が互角ならば、プロ野球日本シリーズで第7戦までいく確率は31% ・もし勝率が6:4ならば、プロ野球日本シリーズで第7戦までいく確率は28% ・もし勝率が7:3ならば、プロ野球日本シリーズで第7戦までいく確率は19% ・平均試合数は勝率が互角のとき最大になり5.8試合かかる |
子供の頃、プロ野球の日本シリーズで第7戦までいくと、得した気分になった。それは4連勝する確率や第7戦までいく確率が、第5戦、第6戦で決まる確率よりも低い感じがしたからである。しかし「数え上げ理論」(野崎昭弘)に計算が載っていて、もし力が互角ならば日本シリーズで第7戦までいく確率は31%と意外と高いので驚いた。
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ここまで「帰れま10」などの問題では、簡単のため人間の意志は無視して事象は等確率で起きると仮定した。しかしこの問題ならば事象の起きる確率の偏りを考慮に入れても簡単に計算できる。前提として2つのチームA,Bが対戦したときの勝率をp：(1-p)とおく。まずAチームが4+k戦目で優勝する確率はその前までに3勝k敗して最後に1勝する確率だから 3+kC3(p4(1-p)k)。Bチームが4+k戦目で優勝する確率も同様だから、これらを足せば第4+k戦までいく確率
が得られる。ここで勝率pを変えてグラフを書いてみると
勝率が互角のときは第7戦までいく確率が高いが、力の差が大きくなるほど早く決着する確率が高くなっていく。考えてみれば当たり前だが、こうしてグラフにして見るとその様子がよくわかる。
実際にかかった試合数は、Wikipediaによると2015年までの記録で次表のとおり(引き分けを含む)なので、勝率0.5の場合に近い。つまりセ・パ優勝チームの実力は互角のようである。
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試合数 |
回数 |
% |
(勝率0.5の場合) |
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4 |
5 |
8% |
13% |
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5 |
17 |
26% |
25% |
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6 |
19 |
29% |
31% |
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7 |
23 |
35% |
31% |
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8 |
1 |
2% |
- |
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試合数の期待値も計算してみると
試合数の期待値は勝率0.5のときに最大になり5.8試合である。(ちなみに実際の平均試合数は6.0試合)