補足 - nを実数に拡張した2項定理

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次の公式を証明する。

1番目の公式の左辺のk微分は

だから、左辺のz=0のまわりのテイラー展開は

となり、上記の公式が示せた。ちなみn=0のときは等比級数の式になっている

◇◇

2番目の公式の左辺k階微分は

だから、左辺z=0まわりのテイラー展開は

となり、上記の公式が示せた。

3番目の公式は、2番目の公式を積分したもので、

◇◇◇

これらの公式は、2項定理のnを実数に拡張したものと見なされることもある。

例えば、1番目の公式の係数において、分子の各因子の符号を逆に変えれば

すなわち

において、rが負の整数の場合になっている。

2番目の公式の係数も、次のように書き直せば

r=-1/2の場合になっている

ここでrCkrを実数に拡張した2項係数である

rが自然数n>0のときはk=nで和が打ち切られるので通常の2項定理になる。


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