補足 - 2項係数の母関数、あるいはnを実数に拡張した2項定理
本稿に出てくる2項係数の母関数の公式を、ここでまとめて証明しておく。
◇
公式(1)の左辺のk階微分は
だから、左辺のz=0のまわりのテイラー展開は
となり、公式(1)が示せた。ちなみにn=1のときは等比級数の式になっている
公式(1)は等比級数の式をn乗しても求められる。
公式(1')は公式(1)の和のインデックスを変えただけである。
公式(1'')は公式(1)の両辺を微分したものである。
しかしながらn+1→n, k→k+1に変えると、これは公式(1)と同じであることがわかる。
公式(1''')は「確率論とその応用vol.1」(フェラー)にのっていたもので、公式(1')の両辺を積分して求められる。すなわち公式(1''')の右辺を微分したものは
これを部分積分していくと
◇◇
公式(2)の左辺のk階微分は
だから、左辺のz=0のまわりのテイラー展開は
となり、公式(2)が示せた。
公式(3)は、2番目の公式を積分したもので、
◇◇◇
これらの公式は、2項定理のnを実数に拡張したものと見なされることもある。
例えば、公式(1)の係数において、分子の各因子の符号を逆に変えれば
すなわち
において、rが負の整数の場合になっている。
公式(2)の係数も、次のように書き直せば
とr=-1/2の場合になっている
ここでrCkはrを実数に拡張した2項係数である
rが自然数n>0のときはk=nで和が打ち切られるので通常の2項定理になる。
