2つの封筒

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・外見が同じ2つの封筒があり、一方には他方の2倍のお金が入っている。一方の封筒を選んで中身を見た後に、もし望むなら封筒を取り替えてよい。

 このとき封筒を取り替えるべきか?

 →答えは、取り替えても取り替えなくても金額の期待値は同じ

この問題も「確率・統計であばくギャンブルのからくり(谷岡一郎)」という本に載っていた。この取り替えても取り替えなくても同じという答えは直感とあっているのだが、本の説明によると、直感に反する計算方法もあるという。

【期待値の計算その1

 (1) もし選んだ封筒にa円入っていたとすると、残りの封筒にはa/2円か2a円が入っていることになる。

 (2) 高額の封筒と低額の封筒を選ぶ確率は等しいから、残りの封筒にa/2円入っている確率も2a円入っている確率も1/2のはずである。

 (3) したがって取り替えたときの期待値は、(a/2)*1/2+(2a)*1/2=5a/4

 (4) すなわち期待値が元のa円より大きいから取り替えた方が得である

この推論のどこが間違っているのかというと、(2)a/2円と2a円が入っている確率を等しいとした点である0からaまでの間にある数よりも、aより大きい数の方がたくさんあるから、あるaを決めたときa/2が入っている確率と2aが入っている確率は等しいとはいえない。

【期待値の計算その2

 (1) 2つの封筒に入っている金額をa円と2a円とする。

 (2) a円を選ぶ確率も2a円を選ぶ確率も1/2

 (3) a円を選んだ場合は取り替えると2a円になり、2a円を選んだ場合は取り替えるとa円になるから、取り替えたときの期待値は

  2a*(1/2)+a*(1/2)=3a/2

 (4) 最初に選んだ方の期待値も同じく3a/2だから、どっちでも同じである

この計算では選んだ方をa円とするのでなく、どちらかにa円と2a円が入っているとしたので、それらを等確率とするのは正しい

上記の説明でしっくりこないのが、その1の計算において、あるaを決めたときa/2が入っている確率と2aが入っている確率が等しいと言えないのはそのとおりかもしれないが、ではいったいいくらなのかが計算できない点である。

この問題は「2つの封筒の問題(Two envelopes problem)」という名前で知られていると書いてあったので、ネットで検索すると気まぐれWikiというブログにもう少し詳しい説明が載っていた。ブログによると、確率分布を決めてしまえば期待値を計算できるので、そうすると取り替える前後で期待値が変わらないことが確認できるという。

◇◇

【ペアが有限個で等確率な確率分布の場合】

今、封筒のペアがn個あり、どのペアも等確率1/nという確率分布を仮定する

金額のペア

(1,2)

(2,4)

(2n-1,2n)

確率

1/n

1/n

1/n

 注:(a,2a)a円と2a円のペアを示す

このとき1円を選ぶ確率はペア(1,2)を選ぶ確率とペア内の1円を選ぶ確率1/2をかけて

2^k(k=1,2,...,n-1)を選ぶ確率は、ペア(2^(k-1),2^k)を選ぶ確率とペア内の2^k円を選ぶ確率1/2をかけたものと、ペア(2^k,2^(k+1))を選ぶ確率とペア内の2^k円を選ぶ確率1/2をかけたものを足して、

また2^n円を選ぶ確率は1円を選ぶ確率と同じ。

したがって、ある金額の封筒を選ぶ確率は次表のとおりになる。

金額

1

2

2n-1

2n

確率

1/2n

1/n

1/n

1/2n

この表から封筒内の金額の期待値は、選んだ封筒を取り替えない場合、

となる。

さらに封筒を取り替えた場合を考える。

取り替え後に1円になる確率は、最初に2円を選ぶ確率とそれがペア(1,2)またはペア(2,4)のうち前者である確率1/2をかけて

取り替え後に2^k(k=1,2,...)になる確率は、最初に2^(k-1)円を選ぶ確率とそれがペア(2^(k-2),2^(k-1))またはペア(2^(k-1),2^k)のうち後者である確率1/2をかけたものと、最初に2^(k+1)円を選ぶ確率とそれがペア(2^k,2^(k+1))またはペア(2^(k+1),2^(k+2))のうち前者である確率1/2をかけたものを足して

また2^n円を選ぶ確率は1円を選ぶ確率と同じ。

したがって、取り替え後の確率分布は取り替える前と同じになる。

金額

1

2

2n-1

2n

確率

1/2n

1/n

1/n

1/2n

つまり、取り替える前後で封筒内の金額の期待値が変わらないことが確認できた

◇◇◇

この確率分布を使って上記の「期待値の計算その1」を検証してみよう。選んだ封筒が2^k(k=1,..,n-1)だったという条件下で、それがペア(k/2,k)である確率もペア(k,2k)である確率も1/nで等しいから、取り替え後の期待値は

と元の5/4倍になり必ず得するという理屈だった。しかし、選んだ封筒が1円と2^n円だった場合も考慮しないと正しくない。選んだ封筒が1円だったときは取り替えると必ず1円得するが、2^n円を選んだときは取り替えると必ず2^(n-1)円損する。この損が全体の期待値を押し下げて、取り替えても得しないのである。実際、封筒内の金額の期待値は、

となり上記の計算結果と一致する。

◇◇◇◇

【ペアが無限個で等比数列で小さくなる確率分布の場合】

今度はペアが無限個あり、確率がr倍ずつ減っていく確率分布を仮定する(r<1)。無限個の封筒を仮定して大丈夫なのか怪しいが、とにかく前の例と同じように計算してみよう。

金額のペア

(1,2)

(2,4)

(2-1,2k)

(2k,2k+1)

確率

(1-r)

(1-r)r

(1-r)rk-1

(1-r)rk

このとき1円を選ぶ確率はペア(1,2)を選ぶ確率とペア内の1円を選ぶ確率1/2をかけて

2^k(k=1,2,...)を選ぶ確率は、ペア(2^(k-1),2^k)を選ぶ確率にペア内の2^k円を選ぶ確率1/2をかけたものと、ペア(2^k,2^(k+1))を選んでかつペア内の2^k円を選ぶ確率1/2をかけたものを足して

したがって、ある金額の封筒を選ぶ確率は次表のとおりになる。

金額

1

2

2k

確率

(1-r)/2

(1-r2)/2

(1-r2)rk-1/2

この表から封筒内の金額の期待値は、選んだ封筒を取り替えない場合、

となる。r1/2のときは発散してしまうがr1/2のときは収束して

さらに封筒を取り替えた場合を考える。

取り替え後に1円になる確率は、最初に2円を選ぶ確率とそれがペア(1,2)またはペア(2,4)のうちの前者である確率1/(1+r)をかけて

取り替え後に2円になる確率は、最初に1円を選ぶ確率と、最初に4円を選ぶ確率とそれがペア(2,4)またはペア(4,8)のうちの前者である確率1/(1+r)をかけたものを足して

取り替え後に2^k(k=2,3,...)になる確率は、最初に2^(k-1)円を選ぶ確率とそれがペア(2^(k-2),2^(k-1))またはペア(2^(k-1),2^k)のうち後者である確率r/(1+r)をかけたものと、最初に2^(k+1)円を選ぶ確率とそれがペア(2^k,2^(k+1))またはペア(2^(k+1),2^(k+2))のうち前者である確率1/(1+r)をかけたものを足して

したがって、取り替え後の確率分布は取り替える前と同じになる。

金額

1

2

2k

確率

(1-r)/2

(1-r2)/2

(1-r2)rk-1/2

つまり、取り替える前後で封筒内の金額の期待値が変わらないことが確認できた

◇◇◇◇◇

この確率分布を使って上記の期待値の計算その1を検証してみよう。選んだ封筒が2^k(k=1,..,n-1)だったという条件下で、それがペア(k/2,k)である確率は1/(1+r)、ペア(k,2k)である確率はr/(1+r)だから、取り替え後の期待値は

(1) 1/2rのとき 取り替えた方が得

(2) r =1/2のとき 取り替えても取り替えなくても同じ

(3) r1/2のとき 取り替えない方が得

となる。実は(1)(2)の場合は期待値が発散しているので意味をなさない。(サンクトペテルブルクのパラドックスと同じ状況)

(3)の場合は、選んだ封筒が1円だった場合も考慮しないと正しくない。選んだ封筒が1円だったときは取り替えると必ず1円得する。この得が全体の期待値を押し上げて、取り替えても損しないのである。実際、封筒内の金額の期待値は、

となり上記の計算結果と一致する。

◇◇◇◇◇◇

以上の2つの確率分布の例では、いずれも取り替えても取り替えなくても期待値は同じことが確かめられたが、どんな確率分布でも同じになることが示せるのかはわからない。


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