補足 - n回目に初めて事象が起きる確率
一般に、
un： ちょうどn回目に事象が起きる確率（n回目より前にも事象が起きた場合を含む)
fn： n回目に初めて事象が起きる確率
とするとき、unの母関数からfnの母関数を計算する式
を導く。以下の計算は「確率論とその応用I (第2版)」(フェラー)のXIII章によっている。
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n回目に事象が起きるケースを、k回目に初めて事象が起きてから、ちょうど(n-k）回目にも事象が起きるというケースに分割すると、次の漸化式が得られる
このままでは、unとfnの一方から他方を計算することは困難だが
と定義すると、
とたたみ込みの形に書ける。2つの数列のたたみ込みの母関数は元の数列の母関数の積になることを使うと、漸化式から
これをFについて解けば、unの母関数からfnの母関数を計算する式が得られる。
したがって、もし数列と母関数の式がわかれば、母関数を経由してunからfnを計算できることになる。
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(例1) コイントスでHが出る事象
ちょうどn回目にHが出る確率は（n回目より前にもHが出た場合を含む)
したがって母関数はu0=1と定義して
n回目に初めてHが出る確率の母関数は
となるからn回目に初めてHが出る確率は
と求められる。これは幾何分布である。