いろいろな数列の最上位の数字

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2nの最上位の数字dの出現率は対数的分布にしたがう

「世界でもっとも奇妙な数学パズル(ジュリアン・ハヴィル)」という本に、2のべき乗2nの不思議な性質が載っている。

・最上位の1桁目に79はなかなか現れないが、7.036...×10139.0072...×1015でようやく現れる。

・実はどんな数字の並びでも、最上位の何桁かに現れうる。例えば円周率の最初は3.1415...×10n255046

さらに最上位の数字の出現率は冒頭の簡単な式で表せてしまうというのである。2のべき乗は仕事柄よく目にするが、こんな法則があるとは知らなかった。たしかに2101000だから、nがあまり大きくなければ、21から210までの間の出現率にほぼ等しくなることは予想できるが、nが大きくなると、ある分布に収束するというのは意外な感じがする。

実際にN個の2n1nN)に対して最上位の数字の個数を数えてみると次図のようになり、N=100でほぼ収束しているように見える。

こうなるからくりを理解するには、数値xの最上位の数字の分布を次のように言いかえる必要がある。

「数値xの最上位の数字が対数的に分布している  log10 xの小数部が一様分布している」

まず、数値xの最上位の数字が対数的に分布するには、数値xの仮数部rが対数的分布していればよい・・・(1)

ことは、前項で示した。

次に、浮動小数点表示の対数をとると

だからnlog10 xの整数部であり、仮数部の対数log10 rは数値xの対数の小数部に等しい・・・(2)

ここで{ } は小数部を表す

次に、この仮数部の対数ρ=log10 rの密度ψ(ρ)と元のrの密度φ(r)関係を求めると

したがって、仮数部が対数的分布F(r)=log10 rになるには、仮数部の対数ρ=log10 rが一様分布であることが必要十分・・・(3)

  

上記(1)(2)(3)より、数値xの最上位の数字が対数的分布(仮数部rの分布F(r)=log10 rになるには、元の数値xの対数の小数部が一様分布していることが必要十分であることがわかる。

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2nについて対数の小数部を調べてみると

となるが、実は「無理数の整数倍の小数部は一様分布する」ことが知られており(→補足 - ワイルの均等分布定理)、log102は無理数だからnlog102}は一様分布する、したがって2の最上位の数字は対数的分布になるのである。さらに、無理数なら何でもいいので、3n(√2)nの最上位の数字も対数的分布になる。さらにn乗だけでなく、例えばフィボナッチ数

2項が0に収束するので第1項だけが残り、やはり対数的分布になる。

さらにベンフォードの表にも出てくる階乗n!についても、{ log10n! }が一様分布することが示せるらしいが、証明は追えなかった。

このように、最上位の数字が対数的に分布する数列は意外とたくさんあるようである。

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もちろん対数的に分布しない数列もあり、自然数nがそうである。

1からNまでの自然数のうち、最上位が1になる個数を数えてみると次図のようになり、数列2nと違って振動する。

同様に、最上位の数字がdになる個数を数えてみると振動し、上限はN=d99…9のときだから

また下限N=(d-1)99…9のときだから

Nを大きくしても上限と下限は一致しない。ただ、平均は大体log10(1+1/d)になっている。


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