いろいろな数列の最上位の数字
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2nの最上位の数字dの出現率は対数的分布になる
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「世界でもっとも奇妙な数学パズル(ジュリアン・ハヴィル)」という本に、2のべき乗2nの不思議な性質が載っている。
・ 最上位の1桁目に7と9はなかなか現れないが、7.036...×1013、9.0072...×1015でようやく現れる。
・ 実はどんな数字の並びでも、最上位の何桁かに現れうる。例えば円周率の最初は3.1415...×10n＝255046
さらに最上位の数字の出現率は冒頭の簡単な式で表せてしまうというのである。2のべき乗は仕事柄よく目にするが、こんな法則があるとは知らなかった。たしかに210≒1000だから、nがあまり大きくなければ、21から210までの間の出現率にほぼ等しくなることは予想できるが、nが大きくなると、ある分布に収束するというのは意外な感じがする。
実際にN個の2n(1≦n≦N)に対して最上位の数字の個数を数えてみると次図のようになり、N=100でほぼ収束しているように見える。
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このからくりを理解するには、前項で示した
「数値xの最上位の数字が対数的分布になるには、数値xの仮数部rが対数的分布であればよい」
を次のように言いかえるとよい。
「数値xの最上位の数字が対数的分布になるには、log10 xの小数部が一様分布していればよい」
この言いかえは、次の同値関係によっている。
仮数部が対数的分布F(r)=log10 r
⇔ 仮数部の対数log10 rが一様分布・・・(1)
⇔ log10 xの小数部が一様分布・・・(2)
まず(1)は、rの密度φ(r)とlog10 rの密度ψ(log10 r)の関係を見ればわかる
次に(2)は、浮動小数点表示の対数をとるとわかる。
だから、nはlog10 xの整数部であり、仮数部の対数log10 rはlog10 xの小数部に等しい
ここで、かっこ{ }は小数部を表す。
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2nについて対数の小数部は
となるが、実は「無理数の整数倍の小数部は一様分布する」ことが知られており(→補足 - ワイルの均等分布定理)、log102は無理数だから{nlog102}は一様分布する、したがって2ｎの最上位の数字は対数的分布になるのである。さらに、無理数なら何でもいいので、3nや(√2)nの最上位の数字も対数的分布になる。さらにn乗だけでなく、例えばフィボナッチ数
は第2項が0に収束するので第1項だけが残り、やはり対数的分布になる。
さらにベンフォードの表にも出てくる階乗n!についても、{log10n!}が一様分布することが示せるらしいが、証明は追えなかった。
このように、最上位の数字が対数的分布になる数列は意外とたくさんあるようである。
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もちろん対数的分布にならない数列もあり、自然数nがそうである。1からNまでの自然数のうち、最上位が1になる個数を数えてみると次図のようになり、数列2nと違って振動する。
同様に、最上位の数字がdになる個数を数えてみると振動し、上限はN=d99…9のときだから
また下限はN=(d-1)99…9のときだから
とNを大きくしても上限と下限は一致しない。ただ、平均は大体log10(1+1/d)になっている。
