ガチャポンとスターリング数
以前、n種類のくじを引いてちょうどj回目で全種類そろう確率
を包除原理を使って求めたが(→ガチャポンが全種類そろう確率)、最近ネットで、スターリング数を使って求めている記事「おまけが揃う確率」を見つけた。確かに上記の式は、異なるn個の球を異なるm個の箱に入れる方法の数
と似ている。ここでS(n,m)がスターリング数である(→n個の球をm個の箱に分ける方法) もう一度考え直してみると、j-1回目でn-1種類のくじを集める方法の数は、j-1回の各回をn-1種類のどれかに対応づける方法の数だから
とおりある。これを分母nj-1で割れば、j-1回目でn-1種類のくじがそろっている確率になる。これに、残りのn種類目を選ぶ方法の数nC1と、次のj回目で最後のn種類目が当たる確率1/nをかければ、
と同じ結果が得られる。つまり以前の計算は、スターリング数の閉じた式を包除原理を使って求めていたのと同じことになる。
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Pj(n)に対して確かめた式をS(n,m)の式に書きなおしてみると、スターリング数に関する公式が得られる。
