スミス氏の子供たち

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・新しく友達になった女性に「お子さんはいますか」と聞くと「2人います」と答えた。

 さらに「女の子はいますか?」と聞くと「ええ」と答えた。

 このとき2人の子供が姉妹である確率は? 答えは1/3

・翌日、彼女が女の子を連れているのを見かけて「お嬢さんですか?」と聞くと「ええ」と答えた。

 このとき2人の子供が姉妹である確率は? 答えは1/2

この問題を初めて見たのは「確率・統計であばくギャンブルのからくり(谷岡一郎)」という本で、確率がますます苦手になってしまいそうな問題である。1番目の問題で、もう1人が女の子である確率は直感的には1/2なのになぜ1/3なのか、2番目の問題で、1人が女の子であることは既にわかっているのに、それを見かけるだけでなぜ答えが変わるのか、と不思議である。もちろん本には答えの説明も書いてあったのだがしっくりこなかった。その後、確率のパラドックスの本はないかと探したら「確率と統計のパラドックス(スティーヴン・セン)」という本に同じ問題が載っていた。以下の説明はこの本によっている。

この問題にひっかかってしまうのはたぶん、問題がわざと曖昧に表現されているからである。

男女が生まれる確率が等しいとすると、明らかに等確率と言えるのは次の4とおりである。

母親

1

2

A

B

C

D

今、この4とおりの家族だけがいるとして問題を表現しなおしてみよう。

1番目の問題は、女の子のいる母親3人のうち1人に偶然会ったとき、姉妹を持つ母親である確率は?となる。こう聞かれれば、答えは表から1/3であるのは納得できる。一方、2番目の問題は、女の子4人のうち1人に偶然会ったとき、姉か妹を持つ女の子である確率は?となるので、答えは2/4である。すなわち親を選ぶ問題から子供を選ぶ問題に変わってしまっているのである。

谷岡氏の本には、この問題は「スミス氏の子供たち(Mr. Smith's Children)」という名前で知られていると書いてあったのでネットで検索すると正己の異論・反論というブログに、もっとおもしろい形で載っていた。

・ある人に子供が2人いることがわかっているとして、2人のうち少なくとも1人が男の子だとわかったとき、もう1人が男の子である確率は?

2人のうち少なくとも1人が男の子とわかったときのわかり方で答えが異なる。

(ケース1) その人の家に鯉のぼりが飾ってあった場合 答えは1/3

(ケース2) その人の家に電話をしたら男の子が出た場合 答えは1/2

ケース1,2はそれぞれ冒頭の1番目,2番目の問題と同じであるが、こちらの方が不思議な印象を受ける。


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