ガチャポンが全種類そろうまでの平均回数

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10種類のガチャポンが全種類そろうまでの平均回数は約29

(ただし、ガチャポンは十分たくさん入っておりどの種類も出る確率は等しいとする)

前項でちょうどj回目でn種類全部のくじがそろう確率

が求められたので、この確率を使ってn類そろうまでの平均回数を計算してみる

n種類そろうまでの平均回数は期待値を使って求めた結果(ガチャポンを全種類集めるには)と一致するはずだから

が示せればよいn=10の場合で数値計算してみると右辺は

左辺は表計算ソフトでj=100までの和をとると

となり一致していそうである。

まず左辺jついての無限和は簡単に計算できて

ここで公式(→補足-2項係数の和の公式

を使うと

となり、

 n種類そろうまでの平均回数が、確率を使った方法と期待値を使った方法とで一致する

ことが確かめられた。


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