ガチャポンが全種類そろうまでの平均回数
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・10種類のガチャポンが全種類そろうまでの平均回数は29回 (ただし、ガチャポンは十分たくさん入っておりどの種類も出る確率は等しいとする) |
前項で、ちょうどj回目でn種類全部のくじがそろう確率
が求められたので、この確率を使ってn種類そろうまでの平均回数を計算してみる。
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n種類そろうまでの平均回数は期待値を使って求めた結果(→ガチャポンを全種類集めるには)と一致するはずだから
が示せればよい。n=10の場合で数値計算してみると右辺は
左辺は表計算ソフトでj=100までの和をとると
となり一致していそうである。
まず左辺のjについての無限和は簡単に計算できて
ここで公式(→補足-2項係数nCmのmについての和の公式)
を使えば
となり、n種類そろうまでの平均回数が、確率を使った方法と期待値を使った方法とで一致することが確かめられた。