「金額別ターンテーブル」でパーフェクトが出る確率

順に出される料理5皿の金額を、選択肢から選んで１つずつ当てていくゲームにおいて

・5皿とも当たるパーフェクトの確率は0.8% (=1/5!)

・1皿も当たらない逆パーフェクトの確率は20% (=1/5)

・当たる皿の数の期待値は2皿 (=107/60)

「金額別ターンテーブル」とはテレビ番組「ペケポン」の１コーナーで、ルールは「各料理店から出された自慢の５皿を順番に試食していき、その料理がいくらかを500円、2500円、5000円、1万円、3万円の中から選んで１つずつ当てていく」というものである。

もし当てずっぽうに答えるとパーフェクト、逆パーフェクトはどのくらいの確率で起こるだろうか？

まずパーフェクトになる確率は、1皿目が当たる確率は1/5、2皿目が当たる確率は1/4、...となるが最後の2皿になったときは注意が必要で2皿のうち一方が当たれば他方は自動的に当たるので確率は1/2であり、全部をかけて (1/5)・(1/4)・(1/3)・(1/2) =1/120=0.8%になる。同様にして逆パーフェクトになる確率は、1皿目が外れる確率は4/5、2皿目が外れる確率は3/4、...、4皿目が外れる確率は1/2であり、4皿目が外れば最後の皿も自動的に外れているので、全部をかけて (4/5)・(3/4)・(2/3)・(1/2) =1/5=20%になる。

番組では2013年10月時点でのべ68人中3人(天童よしみと大泉洋と芦田愛菜)がパーフェクト達成、4人(上地雄輔と仲村トオルと羽鳥慎一と大竹しのぶ)が全問不正解の逆パーフェクトを達成しているので、次表のように出演者の予想は当てずっぽうよりずっとよい。

	当てずっぽうの場合	番組の実績
5皿とも当たる確率	0.8% (=1/5!)	4% (=3人/68人)
1皿も当たらない確率	20% (=1/5)	6% (=4人/68人)

◇

それでは中間の1皿から4皿を当てる確率はいくらになるだろうか。一般に

P(n,m)：順に出される料理n皿の金額を選択肢から選んで1つずつ当てていって、m皿の金額が当たる確率

を計算してみる。

まずn=2皿のときは、1皿目で選択肢2個から１個を選んで当たれば(or外れれば)、残りの2皿も当たっている(or外れている)ので

n=3皿以上のときは、当たりが何皿目で出るかの場合分けをしなければならず閉じた式で書けそうにないので、代わりに漸化式を作る。

n皿中n皿当てる確率は、1皿目を選択肢n個から当てて、かつ残り(n-1)個中(n-1)皿を当てる確率だから

逆にn皿中全部外れる確率は、1皿目を選択肢n個から外して、かつ残り(n-1)個中(n-1)皿を外す確率だから

n皿中m皿(0<m<n)当てる確率は、1皿目が当たった時と外れた時に場合分けして

この漸化式をプログラム(VisualBasic)で計算すると

P(2,0) = 1 / 2

P(2,1) = 0

P(2,2) = 1 / 2

For n = 3 To nMax

P(n,0) = 1 / n

P(n,n) = 1 / Application.WorksheetFunction.Fact(n)

For m = 1 To n-1

P(n,m) = (P(n-1,m-1) + (n-1) * P(n-1,m)) / n

Next m

Next n

P(n,m)	m=0	1	2	3	4	5	6	7	8	mの期待値
n=2	50%	0%	50%							1
n=3	33%	17%	33%	17%						1.333
n=4	25%	21%	29%	21%	4%					1.583
n=5	20%	22%	28%	23%	8%	0.8%				1.783
n=6	17%	21%	27%	23%	10%	2%	0.1%			1.95
n=7	14%	21%	26%	24%	12%	3%	0.4%	0.02%		2.092
n=8	13%	20%	25%	24%	13%	4%	0.7%	0.1%	0.003%	2.218