ランダムウォークでt=2nに初めて原点に戻る確率

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前項で保留にした、t=0からt=2nまでの間に正側x0を歩いている時間が2kである確率を示す準備として、ここでは

(1) ちょうどt=2nに原点x=0にいる確率u2n

(2) t=2nに初めて原点に戻る確率f2n

を求めておく。

ちょうどt=2nに原点x=0にいる確率u2nは、2n歩のうち半分のn歩が正方向の場合だから

と簡単に求められる。

u2nを因数にばらすと約分できて

と、奇数だけの階乗を偶数だけの階乗で割った値になっている。実際、次の漸化式が確かめられる。

ちなみにこの値はcosのべき乗の平均値でもある。

また、nが大きいとき2項係数の漸近形(→補足-2項分布の正規分布による近似)より

1/√n減少していく。

◇◇

t=2nに初めて原点x=0に戻る確率f2nの求め方は、かなりテクニカルである。

一般に、

un: ちょうどn回目に事象が起きる確率(n回目より前にも事象が起きた場合を含む)

fn: n回目に初めて事象が起きる確率

とするとき、unの母関数からfnの母関数が次式で計算できることを利用する。(→補足- n回目に初めて事象が起きる確率)

u2n母関数は、1/2乗の2項定理の公式(補足-nを実数に拡張した2項定理)

を使って計算できて

このu2nの母関数から、f2n母関数が計算できて

この右辺を、上記の1/2乗の2項定理の公式を積分した式

を使って級数に書き直すと

これでt=2nに初めて原点x=0に戻る確率f2nが計算できた。

なお母関数の式の和がn=0から始まるように、f0=0と定義しておく。

ちなみに、このf2nの中にはカタラン数という数が現れている (補足 - カタラン数)

◇◇

u2nとf2nの式はよく似ている。すぐわかる関係式は

また同じインデックス2n同士の関係式も簡単に導けて

これら2つの関係式から

という関係式も導かれる。


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