ランダムウォークでt=2nに初めて原点に戻る確率
前項で保留にした「t=0からt=2nまでの間に正側x≧0を歩いている時間が2kである確率」を示す準備として、ここでは
(1) ちょうどt=2nに原点x=0にいる確率u2n
(2) t=2nに初めて原点に戻る確率f2n
を求めておく。
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ちょうどt=2nに原点x=0にいる確率u2nは、2n歩のうち半分のn歩が正方向の場合だから
と簡単に求められる。
u2nを因数にばらすと約分できて
と、奇数だけの階乗を偶数だけの階乗で割った値になっている。実際、次の漸化式が確かめられる。
ちなみにこの値は、cosのべき乗の平均値でもある。
また、nが大きいとき2項係数の漸近形(→補足-2項係数のガウシアンによる近似)より
と1/√nで減少していく。
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t=2nに初めて原点x=0に戻る確率f2nの求め方は、かなりテクニカルである。
一般に、
un：ちょうどn回目に事象が起きる確率(n回目より前にも事象が起きた場合を含む)
fn：n回目に初めて事象が起きる確率
とするとき、unの母関数からfnの母関数が次式で計算できることを利用する(→補足- n回目に初めて事象が起きる確率)
u2nの母関数は、1/2乗の2項定理の公式(→補足-nを実数に拡張した2項定理)
を使って計算できて
このu2nの母関数からf2nの母関数が計算できて
この右辺を、上記の1/2乗の2項定理の公式を積分した式
を使って級数に書き直すと
これで、t=2nに初めて原点x=0に戻る確率f2nが計算できた。
なお母関数の式の和がn=0から始まるように、f0=0と定義しておく。
ちなみに、このf2nの中にはカタラン数という数が現れている(→補足 - カタラン数)
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u2nとf2nの式はよく似ている。すぐわかる関係式は
また同じインデックス2n同士の関係式も簡単に導けて
これら２つの関係式から
という関係式も導かれる。
