補足 - ２項係数の反転公式
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本原稿のあちこちにでてくる2項係数の反転公式とは、数列bn(n=0,...,N)が数列an(n=0,...,N)で
と表されるとき、逆にanはbnで次式のように表せるというものである。
この公式は「反直観の数学パズル」(ジュリアン・ハヴィル)に載っていてシンプルで美しいと思ったが、高校の数学では見た覚えがなく、あまり有名でないのかもしれない。
◇
反転公式を行列の形で書くと下三角行列になる。
これは2項係数の行列の符号を少し変えると逆行列になるということを言っている。
すなわち
右上の非対角成分(i<j)が0になることと、対角成分(i=j)が1になることはすぐわかる。左下の非対角成分が0になること
は次のようにしてわかる。まず2項定理から
両辺をxでj回微分してからj!で割ると
i>jのときx=-1とおけば
となることが示せた。
◇◇
なお「反直観の数学パズル」(ジュリアン・ハヴィル)では母関数を使って証明しているので紹介しておく。
証明の流れは、anとbnの母関数を定義し、
まずB(x)をA(x)の項で表し、それを変形して逆にA(x)をB(x)の項で表す式を求めればよい。
式(1)より
これでB(x)をA(x)の項で表せたので、逆にA(x)をB(x)に表す式に変形する。
xnの係数を比較すれば、反転公式(2)がえられる。
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