補足 - 2項係数の反転公式

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本原稿のあちこちにでてく2項係数の反転公式とは、数列bn(n=0,...,N)が数列an(n=0,...,N)

と表されるとき、逆にanbnで次式で表せるというものである。

この公式は「反直観の数学パズル」(ジュリアン・ハヴィル)に載っていてシンプルで美しい関係だと思ったが、高校の数学では見た覚えがなく、あまり有名でないのかもしれない。

反転公式を行列の形で書くと下三角行列になる。

すなわち、2項係数の行列の符号を少し変えると逆行列になるということを言っている。

すなわち

右上の非対角成分(i<j)0になることと、対角成分(i=j)1になることはすぐわかる。左下の非対角成分が0になること

は次のようにしてわかる。まず2項定理から

両辺をxj回微分してからj!割ると

i>jのときx=-1とおけば

となることが示せた。

◇◇

なお「反直観の数学パズル」(ジュリアン・ハヴィル)では母関数を使って証明しているので紹介しておく。

証明の流れは、次の母関数を定義し、

まずB(x)A(x)の項で表し、それを変形して逆にA(x)B(x)に表す式にできれば、反転公式がえられる。

ここで和をとる順番を入れ替えると

n-j=kとおくと

れでB(x)A(x)の項で表せたので、逆にA(x)B(x)に表す式に変形する。

n-j=kおくと

xnの係数を比較することで


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