コイントスで表が連続して出る確率 (漸化式その1

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100回コイントスして表が最大5回連続して出る確率は26%

100回コイントスすると、表が最大6回ぐらい連続して出る(逆に6回連続して表を出すには100回コイントスすればよい)

100回コイントスすると、表または裏が最大7回ぐらい連続して出る (表だけの連続回数より1多くなる)

次の図は321x321画素を赤と青で半々に塗りつぶしたもので、左は交互に(均一に)、右は乱数で塗った例である。

 

これを見ると、ランダムに塗っているのに意外と均一でなく斑模様になる。乱数で塗るとは、例えばコイン投げをして表なら赤、裏なら青を塗っていくのと同じなので、斑の大きさは連続して表や裏がでる長さである。もちろん長いものほど出現確率は小さいのだが、同じ面が連続して出る確率は意外と高いようである。

では、

 コイントスで表か裏が連続する長さはどれくらいだろうか

この計算が「世界でもっとも奇妙な数学パズル」(ジュリアン・ハヴィル)という本にのっていた。以下では

・表(Head)H, (Tail)T

n回コイントスして出るH,Tの列を、長さnの系列(sequence)

・連続kHが出ることを、長さkHのラン(run)

と呼ぶことにする。

求めたいのは長さnの系列の中でHのランの最大長Rnkある確率である。

この問題のポイントは、いきなり最大長がkである確率を考えるのでなく、k以上である確率を考えることである。

まずn回目までに長さk以上のHのランが現れる場合は2つに分けられる

(1) n-1回目までに長さk以上のHのランが現れる場合

(2) n回目でちょうど長さkHのランになる。すなわちn-k-1回目までには現れず、n-k回目にTがでてその後k回連続してHが出る確率だから

これらを足して次の漸化式が得られる。

(注:私が持っている本の第1版では漸化式が間違っていて、Rn-k-1のところがRn-kになっている)

k=nのときは明らかに

n<kのときは

と見なす。

この確率を使っHのランの最大長Rnkに等しい確率が計算できる。

プログラム(VisualBasic)で計算すると

For n = 0 To nMax

    For k = n + 1 To nMax

        A(n, k) = 0

    Next k

    A(n, n) = (1 / 2) ^ n

    A(n, 0) = 1

Next n

For n = 1 To nMax

    For k = 1 To n - 1

        A(n, k) = A(n - 1, k) + (1 - A(n - k - 1, k)) / 2^(k + 1)

    Next k

Next n

 

For n = 0 To nMax

    P(n, nMax) = A(n, nMax)

    For k = 0 To nMax - 1

        P(n, k) = A(n, k) - A(n, k + 1)

    Next k

Next n

 

P(n,k)

k=0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ERn

n=3

13%

50%

25%

13%

 

 

 

 

 

 

 

1.4

n=5

3%

38%

34%

16%

6%

3%

 

 

 

 

 

1.9

n=10

0%

14%

35%

26%

14%

6%

3%

1%

0%

0%

0%

2.8

n=25

0%

1%

13%

29%

25%

15%

8%

4%

2%

1%

0%

4.0

n=50

0%

0%

2%

16%

28%

24%

15%

8%

4%

2%

1%

5.0

n=100

0%

0%

0%

3%

16%

26%

23%

15%

8%

4%

2%

6.0

n=200

0%

0%

0%

0%

3%

16%

26%

22%

15%

8%

4%

7.0

 

この結果によると100回のコイントスでHのランの最大値は5回がもっとも起こりやすく確率は26%である100回中、H5回も連続して出るのは不自然に感じるが、実はよくあることなのである。ちなみにRnの期待値は分布のピークより少し大きく6.0回である。

◇◇

さて、Hのランだけでなく、HTどちらかのランを数えるには、つぎのように考えればよい。

長さnH,Tの系列は、長さn-1の「前と同じ(Same)」か「前と違う(Different)」の系列と見なせる。

 T  H  T  T  T  H  T  T  H  H

   D  D  S  S  D  D  S  D  S 

したがってHTどちらかの長さkのランが起きる場合の数は、1回目はH,Tどちらかで、その後n-1回のS,Dの系列において長さk-1Sのランが起きる場合の数と考えられる。すなわち

n回のコイントスでHTどちらかの長さkのランが起きる確率は、n-1回のコイントスで長さk-1Hのランの出る確率と同じである

確率はn回とn-1回ではほとんど変わらないので、HTどちらかのランの長さは、Hだけのランの長さより大体1回多いということになる。


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