ガチャポンを全種類集めるまでの回数(等確率でない場合)
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・確率p,q (p+q≤1)で出る2種類のガチャポンを両方集めるまでの平均回数は
・確率p,q,r (p+q+r≤1)で出る3種類のガチャポンを全て集めるまでの平均回数は
・一般に確率pk (Σpk ≤1)で出るn種類のガチャポンを全て集めるまでの平均回数は
・もしレアもの(pi≪1)が1つあれば、それが出るまでの回数にほぼ等しくなる
・特に、等確率(p1=p2=...=pn=n/N, n≤N)の場合は
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ガチャポンを全種類集めるまでの回数では、どのガチャポンも出る確率は等しいとしたが、レア度が異なる場合の計算が「数学 超・超絶難問」(小野田博一)に載っていた。
まず、簡単のため2つの場合を考える。
(問題1) 確率p,q (p+q≤1)で起きる2つの事象が両方起きるまでの試行回数の期待値Eは?
(期待値の方程式による解法)
pが起きるまでの試行回数が1/pであることを使えば
1回目がpの場合は、あと1/q回
1回目がqの場合は、あと1/p回
1回目がその他の場合は、あとE回
したがって期待値Eの方程式が作れて
Eを左辺に集めて
右辺で(p+q)をくくり出して
◇
次に2つから3つへ増やす。
(問題2) 確率p,q,r (p+q+r≤1)で起きる3つの事象がすべて起きるまでの試行回数の期待値Eは?
(期待値の方程式による解法)
問題1の結果を使えば
1回目がpの場合は、あとqかrが起きればよいから1/q+1/r-1/(q+r)回
1回目がqの場合は、あとrかpが起きればよいから1/r+1/p-1/(r+p)回
1回目がrの場合は、あとpかqが起きればよいから1/p+1/q-1/(p+q)回
1回目がその他の場合は、あとE回
したがって期待値Eの方程式が作れて
Eを左辺に集めて
計算の方針としては右辺でp+q+r(=sとおく)をくくり出していくのだが、長くなるので次のように項をわける。
まず右辺第1項を計算すると
次に右辺第2項を計算すると
結局Eの方程式(2)は次のようになる
ここで、まん中の複雑な式だけ行き詰ってしまったのだが、本「数学 超・超絶難問」(小野田博一)の答えを見ると、実は
なので、簡単な形になる。
◇◇
この簡単な形は、答えが包除原理の式
に帰着することに気づかないと、計算だけでは気づくのは無理と思う。
すなわち、各p,q,rが起きるまでの試行回数を足した
には、2つのいずれかが起きるまでの回数
がダブルカウントされているのでその分を差し引いて、さらに3つのいずれかが起きるまでの回数
を引きすぎているので足し戻す、というわけである。
◇◇◇
包除原理を使えば、一般のn個の事象の場合も計算できる。
(問題3) 確率pk (Σpk ≤1)で起きるn個の事象がすべて起きるまでの試行回数の期待値Eは?
(包除原理による答え)
包除原理の式で、pi,pj,...,pkのいずれかが起きるまでの試行回数
を代入して
もしレアもの(pi≪1)が1つあれば、それが起きるまでの試行回数にほぼ等しくなる
特に等確率(p1=p2=...=pn=n/N,n≤N)の場合は、重なりが均等な場合の包除原理の式と2項係数nCmのmについての和の公式を使えば、ガチャポンを全種類集めるまでの回数の結果と同じになる。
