ガチャポンを全種類集めるまでの回数(等確率でない場合)

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・確率p,q (p+q≤1)で出る2種類のガチャポンを両方集めるまでの平均回数は

・確率p,q,r (p+q+r≤1)で出る3種類のガチャポンを全て集めるまでの平均回数は

・一般に確率pk (Σpk ≤1)で出るn種類のガチャポンを全て集めるまでの平均回数は

・もしレアもの(pi1)1つあれば、それが出るまでの回数にほぼ等しくなる

特に、等確率(p1=p2=...=pn=n/N, n≤N)の場合は

ガチャポンを全種類集めるまでの回数では、どのガチャポンも出る確率は等しいとしたが、レア度が異なる場合の計算が「数学 超・超絶難問」(小野田博一)に載っていた。

まず、簡単のため2つの場合を考える。

(問題1) 確率p,q (p+q≤1)で起きる2つの事象が両方起きるまでの試行回数の期待値E?

(期待値の方程式による解法)

pが起きるまでの試行回数が1/pであることを使えば

1回目がpの場合は、あと1/q

1回目がqの場合は、あと1/p

1回目がその他の場合は、あとE

したがって期待値Eの方程式が作れて

Eを左辺に集めて

右辺で(p+q)をくくり出して

次に2つから3つへ増やす。

(問題2) 確率p,q,r (p+q+r≤1)で起きる3つの事象がすべて起きるまでの試行回数の期待値E?

(期待値の方程式による解法)

問題1の結果を使えば

1回目がpの場合は、あとqrが起きればよいから1/q+1/r-1/(q+r)

1回目がqの場合は、あとrpが起きればよいから1/r+1/p-1/(r+p)

1回目がrの場合は、あとpqが起きればよいから1/p+1/q-1/(p+q)

1回目がその他の場合は、あとE

したがって期待値Eの方程式が作れて

Eを左辺に集めて

計算の方針としては右辺でp+q+r(=sとおく)をくくり出していくのだが、長くなるので次のように項をわける。

まず右辺第1項を計算すると

次に右辺第2項を計算すると

結局Eの方程式(2)は次のようになる

ここで、まん中の複雑な式だけ行き詰ってしまったのだが、本「数学 超・超絶難問」(小野田博一)の答えを見ると、実は

なので、簡単な形になる。

◇◇

この簡単な形は、答えが包除原理の式

に帰着することに気づかないと、計算だけでは気づくのは無理と思う。

すなわち、各p,q,rが起きるまでの試行回数を足した

には、2つのいずれかが起きるまでの回数

がダブルカウントされているのでその分を差し引いて、さらに3つのいずれかが起きるまでの回数

を引きすぎているので足し戻す、というわけである。

◇◇◇

包除原理を使えば、一般のn個の事象の場合も計算できる。

(問題3) 確率pk (Σpk ≤1)で起きるn個の事象がすべて起きるまでの試行回数の期待値E?

(包除原理による答え)

包除原理の式で、pi,pj,...,pkのいずれかが起きるまでの試行回数

を代入して

もしレアもの(pi≪1)1つあれば、それが起きるまでの試行回数にほぼ等しくなる

特に等確率(p1=p2=...=pn=n/N,n≤N)の場合は、重なりが均等な場合の包除原理の式と2項係数nCmのmについての和の公式を使えば、ガチャポンを全種類集めるまでの回数の結果と同じになる。


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