補足 - 2項係数nCmのmについての和の公式
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本稿で出てくる2項係数nCmのmについての和の公式を、ここでまとめて証明しておく。
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いずれも2項定理から出発する。
x=-1とおけば公式(1)のj=0のときが示される。
2項定理(5)の両辺を1階微分して
x=-1とおけば公式(1)のj=1のときが示される。
2項定理(5)の両辺を2階微分して
x=-1とおけば
ここでj=1のときの和が0だったことを使えば公式(1)のj=2のときが示される。
以下同様にして公式(1)のj=n-1のときの和までが0になることが示される。
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公式(2)を示すには、2項定理(5)の両辺をn階微分して
x=-1とおけば
ここで公式(1)のｊ=n-1のときの和までが0になることを使えばknだけが残って
となり公式(2)が成り立つ。
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公式(3)を示すには、2項定理の両辺を0からxまで積分して
x=-1とおけば
となり公式(3)が示せた。
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公式(4)は公式(3)の和になっているから、2項定理の和をとって積分すればいいはず。(1+x)nの和は
と等比級数の和として計算できるから、この両辺を積分すると
x=-1とおけば
となり公式(4)が示せた。
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