補足 - 2項係数の和の公式

[] [] []


本稿で出てくる2係数のいろいろな和の公式を、ここでまとめて証明しておく。

いずれ2項定理から出発する。

x=-1とおけば1番目の公式のj=0のときが示される。

2項定理の両辺を1階微分して

x=-1とおけば1番目の公式j=1ときが示される。

2項定理の両辺を2階微分して

x=-1とおけば

ここj=1のときの和が0だったことを使えば1番目の公式のj=2ときが示される。

以下同様にして1番目の公式のj=n-1ときの和までが0になることが示される。

◇◇

knのときは2項定理の両辺をn階微分して

x=-1とおけば

ここ1番目の公式のj=n-1のときの和までが0になることを使えばknけが残って

とな2番目の式が成り立つ。

◇◇◇

3番目の式を示すには、2項定理の両辺0からxで積分して

x=-1とおけば

とな3番目の式が成り立つ。

◇◇◇◇

4番目の式は、左辺をLnとおくと、2項係数の漸化式

を使って

と漸化式が導かれる。この右辺の第2項は3番目の式1/nなるから

となり4番目の式が成り立つ。


[] [] []