「帰れま10」で注文する品数の期待値

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もし何も考えずに順番に注文していくと

・お店の人気メニューBest10を全て当てるまでに注文する品数は全メニューの9割

・全メニューが41品のとき1度も間違えずに全部当てる確率は11億分の1

・全メニューが41品のとき9連勝で止まる確率は3千6百万分の1

「帰れま10」とはテレビ番組「お試しかっ！」の1コーナで、ルールは「ファミレスやファーストフード店へ行って、お店の人気メニュ-ベスト10を全て当てるまで注文した料理を食べ続ける」というものである。もし何も考えずに順番に注文していくとベスト10を当てるまで何品注文しなければならないだろうか？と思って計算してみた。

◇

正攻法でまず

Pｊ(n,k)：全メニューn品中のベストkを、ちょうどj品目の注文で全て当てる確率

を求める。n品を1列に並べたとき、その中のどこかにk個の当たりを置く方法はnCk通りあり、これが分母。このうちj番目が当たりでかつ1番目からj-1番目の中に残りのk-1個の当たりを置く方法はj-1Ck-1通りあり、これが分子になるから、

j=kのとき、すなわち1度も間違えずにk品を全部当てる確率は

となり、例えば全メニューが41品(n=41,k=10)と少ないときでさえ11億分の1と、当たったら奇跡である。ちなみに、パーフェクトまであと1つという(k-1)連勝で止まる確率は、最後の当たりが残りの(n-k)箇所のどこかになる並べ方が分子になるから、

となり、パーフェクト達成確率のたったn-k倍にしかならない。（番組では2012年10月時点で、126回中パーフェクトは1回も出てないが9連勝は9回達成されているらしい→2013年1月21日,138回目でついにパーフェクト達成、さらに2013年4月22日,149回目で2回目のパーフェクト達成、さらに2013年7月15日,161回目で3回目のパーフェクト達成、さらに2014年7月7日に4回目のパーフェクト達成)

一方j=nのとき、すなわち最後の1品で当たる確率は

となり、意外と大きい。なお確率の和が1になっていること

も簡単に確かめられる。(→補足 - 2項係数nCmのnについての和の公式)

◇◇

次に、注文する品数の期待値を計算すると

結局、全メニューn品中のベストkを全て当てるまでに注文する品数の期待値は

この式によると「帰れま10」(k=10)の場合は

となり、もし何も考えずに順番に注文していくと、ベスト10を全て当てるまでに注文する品数の期待値は全メニューの9割になってしまう。

グラフで見てもメニューの6割以下で当たる確率はほぼ0%だが、番組のシミュレーション結果をヒストグラムにしてみると、全品数の4割程度で当てているので、出演者の予想はかなり良い。たぶん候補がメニューの4割程度までは自然と絞れていて、その中から当てているからであろう。

 

店

j/n

注文数(j)

全品数(n)

連勝

放送月

はま寿司

10%

14

135

6連勝

2018.10

叙々苑

11%

10

88

10連勝

2013.7

和食さと

12%

14

118

4連勝

2013.3

庄や#2

14%

17

121

7連勝

2011.12

白木屋#2

15%

15

101

6連勝

2012.10

薄利多賣半兵ヱ

16%

29

180

 

2017.2

ヤマザキパン

17%

10

60

10連勝

2014.7

ローソンストア100

18%

10

56

10連勝

2013.4

牛角#3

18%

20

109

5連勝

2013.1

世界の山ちゃん

19%

15

81

 

2013.9

大阪王将

19%

13

70

6連勝

2012.9

やるき茶屋#2

19%

24

126

 

2012.7

夢庵#2

19%

15

77

 

2013.11

ステーキのどん

21%

13

61

5連勝

2011.6

塚田農場

22%

17

79

6連勝

2013.7

スシロー

22%

22

101

5連勝

2018.6

無印良品

22%

17

77

 

2013.7

しゃぶしゃぶ温野菜

23%

17

75

4連勝

2012.5

バーミヤン

24%

17

72

9連勝

2011.8

くら寿司#3

24%

34

144

 

2018.1

つるとんたん

24%

19

80

 

2013.2

ガスト(冬)#2

24%

24

100

 

2012.1

くら寿司#2

24%

24

100

 

2012.1

ローソン

24%

23

95

 

2010.8

らあめん花月嵐

24%

10

41

10連勝

2013.1

COCO's#2

24%

19

77

 

2011.9

コメダ珈琲店

26%

11

43

7連勝

2016.12

紅虎餃子房

26%

18

70

 

2013.7

夢庵

26%

23

89

6連勝

2011.11

サブウェイ

27%

12

45

7連勝

2011.1

オリジン弁当

27%

16

59

8連勝

2011.10

ドトール

28%

16

57

 

2010.10

永谷園

28%

16

57

9連勝

2012.6

マクドナルド

28%

13

46

6連勝

2016.12

サーティーワン#2

28%

19

67

 

2012.7

デニーズ#2

29%

20

69

2連敗

2011.10

焼き肉チャンピオン

29%

20

69

 

2013.11

ロイヤルホスト#3

29%

21

72

 

2014.2

華屋与兵衛

29%

22

75

 

2012.11

ビッグエコー#2

30%

34

115

 

2013.1

ビッグボーイ#2

30%

21

71

 

2012.10

牛角#2

30%

30

101

 

2011.1

笑笑

30%

31

102

 

2011.7

はなの舞

30%

28

92

 

2013.5

かに道楽

31%

16

52

7連勝

2014.3

ケンタッキーFC

31%

13

42

9連勝

2010.6

La Bettola

32%

19

60

 

2014.4

ドミノピザ

33%

26

80

6連勝

2013.11

俺のイタリアン

33%

17

52

 

2013.12

餃子の王将

33%

21

63

 

2018.7

磯丸水産

33%

22

67

 

2013.12

ミニストップ

33%

22

66

6連勝

2010.11

ファミリーマート

34%

20

59

 

2011.10

ステーキガスト

34%

20

58

 

2014.5

天下一品

34%

14

41

9連勝

2012.3

CoCo壱番屋

35%

25

72

 

2010.5

パステル

35%

16

46

 

2013.10

ピザーラ#2

35%

22

63

 

2012.12

松屋

35%

14

40

8連勝

2010.11

とんかつ和幸

35%

18

51

 

2012.8

ロッテリア

35%

23

65

 

2010.10

マクドナルド

36%

14

39

8連勝

2014.1

たいめいけん

36%

27

74

7連勝

2014.2

ミスタードーナッツ#2

36%

23

63

6連勝

2011.9

モスバーガー

36%

20

56

 

2010.7

シダックス#2

37%

29

79

 

2013.4

七輪焼肉安安

37%

27

73

 

2013.4

かっぱ寿司#2

37%

30

81

 

2013.6

吉野家

37%

13

35

9連勝

2010.9

串家物語

37%

19

51

 

2013.8

銀座コージーコーナー

37%

25

67

 

2010.8

ロイヤルホスト

37%

28

75

 

2010.10

かつや

38%

15

40

 

2013.10

幸楽苑

38%

20

53

 

2012.4

近大水産研究所

38%

16

42

 

2014.4

カプリチョーザ

38%

20

52

 

2010.8

COCO's#3

39%

19

49

 

2013.10

なか卯

39%

13

33

9連勝

2011.4

ピザハット#2

40%

17

43

 

2011.12

ロイヤルホスト#2

40%

31

78

7連勝

2013.1

さくら水産

40%

28

70

 

2013.8

丸亀製麺

40%

19

47

 

2012.5

バーガーズキング

41%

18

44

 

2012.1

ウエンディーズ

41%

17

41

7連勝

2013.3

ロッテリア#2

42%

21

50

 

2012.10

リンガーハット

42%

16

38

 

2010.11

デニーズ

43%

38

89

 

2010.4

肉の万世

43%

25

58

 

2013.9

ビッグエコー

43%

42

97

 

2009.11

ファーストキッチン

44%

36

82

6連勝

2010.6

かっぱ寿司

45%

36

80

 

2009.4

一軒め酒場

46%

19

41

 

2016.12

すき家

47%

20

43

9連勝

2013.6

フォルクス

47%

22

47

 

2012.12

リンガーハット#2

47%

24

51

 

2013.3

はなまるうどん

47%

17

36

 

2010.11

五右衛門

48%

19

40

 

2011.1

蒙古タンメン中本

48%

13

27

8連勝

2020.3

サイゼリア

49%

40

82

 

2009.10

ガスト

50%

40

80

 

2009.4

カフェ・カイラ

50%

19

38

6連勝

2014.3

てんや

50%

23

46

9連勝

2012.6

T.G.I. フライデーズ

50%

27

54

 

2013.5

ローソン(スイーツ)#3

53%

18

34

8連勝

2012.8

ハウス食品レトルト

53%

26

49

 

2011.11

スイーツパラダイス

57%

24

42

 

2013.7

クリスピークリーム

59%

13

22

6連勝

2012.1

俺のフレンチ

60%

18

30

 

2014.3

タニタ食堂

61%

19

31

 

2012.1

シェーキーズ

63%

19

30

 

2013.3

やよい軒

63%

26

41

8連勝

2012.9

(この表はネットで数値を見つけたり、たまたまテレビで視た回を載せているので、もっと率が良い/悪い場合もあるはず。2020年3月時点）

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