n個の同種粒子をm個の量子状態に入れる方法
n個の同種粒子をm個(n≦m)の量子状態に入れるとき、どのような入れ方が等確率になるのかを考えると、物理学では次の3つの方法がある。
(1) Maxwell-Boltzmann(MB)統計
n個の粒子は区別できるとして、それぞれm個の状態のどれかに入れる方法mnが等確率
(2) Bose-Einstein(BE)統計
n個の粒子は区別できないとして、粒子の間にm-1個の仕切りを入れる方法n+m-1Cm-1が等確率
(3) Fermi-Dirac(FD)統計
n個の粒子は区別できずかつ1状態に1個しか入れられないとして、m個の状態から粒子を入れるn個を選ぶ方法mCnが等確率
直観的にはMB統計が正しそうなのだが、物理学上の正解はBE統計またはFD統計である。
例）2個の粒子を2個の量子状態α,βに入れる場合
MB統計では状態αに2個入る確率は1/4。状態α,βに1個ずつ入る確率は1/2。
|
α |
①② |
① |
② |
|
|
β |
|
② |
① |
①② |
BE統計では状態αに2個入る確率は1/3。状態α,βに1個ずつ入る確率は1/3。
|
α |
○○ |
○ |
|
|
β |
|
○ |
○○ |
FD統計では状態αに2個入る確率は0。状態α,βに1個ずつ入る確率は1。
|
α |
○ |
|
β |
○ |
◇
各状態への入れ方を粒子数Nと内部エネルギーUの関数g(N,U)と見たとき、これが最大になるのが平衡状態(日常で目にする状態)である。このg(N,U)がMB統計、BE統計、FD統計でどう変わるか見てみよう。ちなみに対数をとったS(N,U)=log(g(N,U))がエントロピーである。
計算方法は次のようにすればよい。
(1) まずn個の粒子をどの状態番号(1からm)に入れるかを全部列挙して、各ケースの内部エネルギーを求める
|
ケース |
粒子1 |
粒子2 |
... |
粒子n |
内部エネルギー |
|
1 |
状態1 |
状態1 |
... |
状態1 |
n*e1 |
|
2 |
状態2 |
状態1 |
... |
状態1 |
(n-1)*e1+1*e2 |
|
: |
: |
: |
|
: |
: |
|
m |
状態m |
状態1 |
... |
状態1 |
(n-1)*e1+1*em |
|
m+1 |
状態1 |
状態2 |
... |
状態1 |
(n-1)*e1+1*e2 |
|
m+2 |
状態2 |
状態2 |
... |
状態1 |
(n-2)*e1+2*e2 |
|
: |
: |
: |
|
: |
: |
|
m+m |
状態m |
状態2 |
... |
状態1 |
(n-2)*e1+1*e2+1*em |
|
: |
: |
: |
|
: |
: |
|
mn |
状態m |
状態m |
... |
状態m |
n*em |
(2) MB統計のときは、このまま内部エネルギー毎にケースの数を集計する。
(3) BE統計のときは、状態の並び順だけ異なるケースを除くため、状態番号が「粒子1≦粒子2≦･･･≦粒子n」となるケースだけを集計する。
(4) FD統計のときは、BE統計からさらに同じ状態に入るケースを除くため、状態番号が「粒子1＜粒子2＜･･･＜粒子n」となるケースだけを集計する。
この素朴な計算方法だとせいぜいn=6,m=6 (66=47kケース)までしか計算できないが、特徴を見るには十分である。
例）n=1～6個の同種粒子をm=6個の状態に入れる。
各状態k=1～mのエネルギー準位はek=(k+1)とする
このグラフではn=1,3,6個のときを表示している。
内部エネルギーUは最小nから最大6nまで分布し、中央は3.5n。
・ 粒子数が1個のときは、どの統計も同じく均等分布になる。
・ 粒子数が状態数の半分n=3のとき、差異が出てきて、いずれも中央のUをピークとして、FD統計、MB統計、BE統計の順に幅広になる。
・ 粒子数が状態数と同じn=6のとき、明確に差異が出てきて、FD統計は1つのUしか取りえず、BE統計は幅広、MB統計はBE統計に近い。
つまり、状態数に比べて粒子数が少ない(1≪n≪m)とき(物理的には常温・常圧の気体の場合)はBE統計もFD統計もMB統計と同じになる。