n個の同種粒子をm個の量子状態に入れる方法

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n個の同種粒子をm(nm)の量子状態に入れるとき、どのような入れ方が等確率になるのかと考えると、物理学では次の3つの入れ方がある。(最も確率の高い入れ方が我々が目にする現象なので、確率分布がどうなっているかは重要である)

(1) Maxwell-Boltzmann(MB)統計

 n個の粒子に番号を振って、それぞれをm個の状態のどれかに入れる方法mnが等確率

(2) Bose-Einstein(BE)統計

 n個の同種粒子の間にm-1個の仕切りを入れる方法n+m-1Cm-1等確率

(3) Fermi-Dirac(FD)統計

 1つの状態には1個の粒子しか入れないという条件を置き、m個の状態から粒子を入れるn個を選ぶ方法mCn等確率

直観的にはMB統計が正しそうなのだが、物理学上の正解はBE統計またはFD統計であるというのは少し意外な感じがする

例)2個の粒子を2個の量子状態α,βに分ける場合

MB統計では2個が同じ状態に入る確率は1/2

α

@A

@

A

 

β

 

A

@

@A

BE統計では2個が同じ状態に入る確率は2/3

α

○○

 

β

 

○○

FD統計では2個が同じ状態に入る確率は0

α

β

したがってBE統計に従う粒子は同じ状態にそろいやすく、FD統計に従う粒子はその反対という性質がある

実は、粒子数に比べて状態数が十分に多い(nm)とき(物理的には普通の温度・圧力の気体の場合)BE統計もFD統計もMB統計と同じになる

これを式で確認してみる。以下の計算は「統計物理学」(ランダウ・リフシッツ)によっている。

nmのときは1個の状態に1個しか粒子が入らないと見なせるので、MB統計の方法の数は

ここで番号を振ったn個の粒子は同種なので順列の数n!で割っている。

対数をとり、n!をスターリングの漸近式を使って書きなおすと

一方、BE統計の方法の数は

ここでnmときは

と近似できるから

MB統計の方法の数と同じになる。

また、FD計の方法の数は

ここでnmのときは

と近似できるから

MB計の方法の数と同じになる。


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