調和振動子の波束を解析的に解く

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次のハミルトニアンの調和振動子において

基底状態と同じ形のガウシアン波束は、幅一定のまま、絶対値は周期2π/ωで、位相も含めると周期4π/ω振動する

ここでx0: 初期の位置、a: 初期の幅、m: 質量、ω: 調和振動子の角振動数

波動関数の時間発展が解析的に解ける例の2つめとして、調和振動子の波束の運動を求めておこう。

最初に、調和振動子のハミルトニアンについて、計算を楽にするために変数を無次元化しておく

各定数の次元は

だから単位長さと単位時間は

これを使って

と無次元変数に置き換えると

以下の計算のあらすじは、シュレディンガー方程式の形式解をHの固有ベクトル|n>で展開して、その級数を閉じた形で求める

◇◇

調和振動子Hの固有ベクトル|>は演算子aを使って次のように表された。(調和振動子を行列力学で解く)

ここで基底状態|0>は次の方程式から決まる。

|n>時間発展の形式解を展開すると

◇◇◇

ここで初期状態として、基底状態(ガウシアン波束)x軸上で平行移動したものを採る。

Baker-Housdorffの公式をつかうと

となるから、基底状態|0>x0だけ平行移動した波束|ψ>を作るには演算子exp(-ipx0)をかければよい

これを時間発展の式に代入すると

この係<n|ψ>(1)使うと

となるが、実|ψ>は次のようにaの固有ベクトルになっているので

<n|ψ><0|ψ>次のように表せる。

|ψ>の規格化条件から

したがって<0|ψ>の位相を実数になるように選べば

<0|ψ>が決まり、<n|ψ>求まる。

この<n|ψ>を時間発展の式(3)に代入すると

座標表現では

◇◇◇

(4)<x|n>を計算する。(1)

ここで演算子aBaker-Hausedorfの公式を使って

と変形すると、n乗が簡単な形になり

したがって

基底状態<x|0>は方程式(2)

を解いて

と求まるから、<x|n>次のようになる

◇◇◇◇

しかしながら素直に(5)(4)に代入しても級数を閉じた形に直せそうもない。そこで天下り的になってしまうが<x|n>の母関数を考える。(もっとスマートな方法があるのかもしれないが、ここでは昔、量子力学演習の本で見たエルミート多項式の母関数を使う方法を使うことにする)

<x|n>の式(5)をよく見るとn微分があるので

であることに注意すると、

これexpテイラー展開

に代入すれば、<x|n>の母関数が作れる。

この母関数(6)(4)と見比べると、偶然(?)にも同じ形になっているから、(6)

とおいた

(4)に代入すれば、級数の閉じた形が得られる。

このままでは図が描けないので、expの中を実部と虚部に整理すると

結局、調和振動子の波束の運動は次のようになる。

この式から、波束の幅は一定のまま、絶対値は周期t=2πで、位相を含めると周期t=4πで振動することがわかる。

(7)を使って波束の図を描いてみると

◇◇◇◇

式が見にくくなるが、無次元変数を元に戻しておくと(基底状態のガウシアンの幅をaおく)

(7)は次のようになる。


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