調和振動子の波束を解析的に解く
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次のハミルトニアンの調和振動子において
基底状態と同じ形のガウシアン波束は、幅一定のまま、絶対値は周期2π/ωで、位相も含めると周期4π/ωで振動する
ここで、x0: 初期の位置、a: 初期の幅、m: 質量、ω: 調和振動子の角振動数 |
波動関数の時間発展が解析的に解ける例の２つめとして、調和振動子の波束の運動を求めておこう。
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最初に、調和振動子のハミルトニアンについて、計算を楽にするために変数を無次元化しておく。
各定数の次元は
だから単位長さと単位時間は
これを使って
と無次元変数に置き換えると
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以下の計算のあらすじは、シュレディンガー方程式の形式解をHの固有ベクトル|n>で展開して、その級数を閉じた形で求める。
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調和振動子のHの固有ベクトル|n>は演算子aを使って次のように表された。(→調和振動子を行列力学で解く)
ここで基底状態|0>は次の方程式から決まる。
この|n>で時間発展の形式解を展開すると
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ここで初期状態として、基底状態(ガウシアン波束)をx軸上で平行移動したものを採る。
Baker-Housdorffの公式をつかうと
となるから、基底状態|0>をx0だけ平行移動した波束|ψ>を作るには演算子exp(-ipx0)をかければよい。
これを時間発展の式に代入すると
この係数<n|ψ>は(1)を使うと
となるが、実は|ψ>は次のようにaの固有ベクトルになっているので
係数<n|ψ>は<0|ψ>で次のように表せる。
|ψ>の規格化条件から
したがって<0|ψ>の位相を実数になるように選べば
と<0|ψ>が決まり、<n|ψ>が求まる。
この<n|ψ>を時間発展の式(3)に代入すると
座標表現では
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式(4)の<x|n>を計算する。(1)から
ここで演算子a†はBaker-Hausedorfの公式を使って
と変形すると、n乗が簡単な形になり
したがって
基底状態<x|0>は方程式(2)
を解いて
と求まるから、<x|n>は次のようになる。
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しかしながら素直に(5)を(4)に代入しても級数を閉じた形に直せそうもない。そこで天下り的になってしまうが<x|n>の母関数を考える。（もっとスマートな方法があるのかもしれないが、ここでは昔、量子力学演習の本で見たエルミート多項式の母関数を使う方法を使うことにする）
<x|n>の式(5)をよく見るとn階微分があるので
であることに注意すると、
これをexpのテイラー展開
に代入すれば、<x|n>の母関数が作れる。
この母関数(6)を(4)と見比べると、偶然(?)にも同じ形になっているから、(6)で
とおいた
を(4)に代入すれば、級数の閉じた形が得られる。
このままでは図が描けないので、expの中を実部と虚部に整理すると
結局、調和振動子の波束の運動は次のようになる。
この式から、波束の幅は一定のまま、絶対値は周期t=2πで、位相を含めると周期t=4πで振動することがわかる。
式(7)を使って波束の図を描いてみると
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式が見にくくなるが、無次元変数を元に戻しておくと(基底状態のガウシアンの幅をaとおく)
式(7)は次のようになる。
