自由運動する波束を解析的に解く

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1次元の自由運動するガウシアン波束は、中心は等速運動し、幅は広がっていく。

ここでx0: 初期の位置、 p0: 運動量、 a: 初期の幅、m: 質量

数値計算の検証用に、解析的に解ける例として、自由運動するガウシアン波束を計算しておこう

最初に、自由運動する粒子のハミルトニアンについて、計算を楽にするために変数を無次元化しておく

各定数の次元は

であり、長さの次元が足りないので仮に単位長さをaとおくと

これを使って

と無次元変数に置き換えると

以下の計算のあらすじは、シュレディンガー方程式

の形式解をHの固有ベクトル|n>展開して

この級数が閉じた形で求める

◇◇

自由場では運動量の固有ベクトル|k>

が、同時にHの固有ベクトルにもなっている。

時間発展の形式解を、この|k>展開すると

|k>座標表現は

なので時間発展の式の座標表現は

◇◇◇

ここで初期状態を、位置x0、運動量k0、幅1のガウシアン波束とする

このときの<k|ψ(0)>計算すると

右辺を定積分の公式

に帰着させるようにexpの中をxについて平方完成させて

<k|ψ(0)>を式(1)に代入して

expの中をkついて平方完成させて

ここで再び定積分の公式

を使えば、自由場の波束の運動が得られる。

図を描くために、exp中を実部と虚部に整理すると

規格化係数も同様に実部と虚部に整理すると

結局、自由場の波束の運動は次のようになる

(3)を使って波束の図を描いてみると

波束の前方から後方へかけて波長が長くなっているので、前方が速く進み、後方が遅れることで、幅が広がっていく様子が見られる。

◇◇◇◇

が見にくくなるが、無次元変数を元に戻しておくと (k0は運動量であるが、波数と見間違えるのでp0に書き換える)

(3)次のようになる。


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