自由運動する波束を解析的に解く
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1次元の自由運動するガウシアン波束は、中心は等速運動し、幅は広がっていく。
ここで、x0: 初期の位置、 p0: 運動量、 a: 初期の幅、m: 質量 |
数値計算の検証用に、解析的に解ける例として、自由運動するガウシアン波束を計算しておこう。
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最初に、自由運動する粒子のハミルトニアンについて、計算を楽にするために変数を無次元化しておく。
各定数の次元は
であり、長さの次元が足りないので仮に単位長さをaとおくと
これを使って
と無次元変数に置き換えると
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以下の計算のあらすじは、シュレディンガー方程式
の形式解を、Hの固有ベクトル|n>で展開して
この級数が閉じた形で求める。
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自由場では運動量の固有ベクトル|k>
が、同時にHの固有ベクトルにもなっている。
時間発展の形式解を、この|k>で展開すると
|k>の座標表現は
なので時間発展の式の座標表現は
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ここで初期状態を、位置x0、運動量k0、幅1のガウシアン波束とする。
このときの<k|ψ(0)>を計算すると
右辺を定積分の公式
に帰着させるように、expの中をxについて平方完成させて
この<k|ψ(0)>を式(1)に代入して
expの中をkについて平方完成させて
ここで再び定積分の公式
を使えば、自由場の波束の運動が得られる。
図を描くために、expの中を実部と虚部に整理すると
規格化係数も同様に実部と虚部に整理すると
結局、自由場の波束の運動は次のようになる。
式(3)を使って波束の図を描いてみると
波束の前方から後方へかけて波長が長くなっているので、前方が速く進み、後方が遅れることで、幅が広がっていく様子が見られる。
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式が見にくくなるが、無次元変数を元に戻しておくと (k0は運動量であるが、波数と見間違えるのでp0に書き換える)
式(3)は次のようになる。
