波束の中心の運動を解析的に解く

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(1) 一様な場(F=const)において

波束(初期の位置x0,運動量p0)の位置の期待値は、古典力学と同じく等加速度運動する。

また、波束(初期の幅a,振幅は実数)の幅の期待値は自由運(F=0)のときと同じく広がっていく。

(2) 調和振動子において

波束(初期の位置x0,運動量p0)の位置の期待値は、古典力学と同じく振動する。

また、波束(初期のa,振幅は実数)の幅の期待値は位置と同じ周期で振動する。ただし初期状態の幅が基底状態と同じ(a=1)のときは変化しない。

前項と前々項は波動関数そのものを計算できる例だったが、それ以外でも、演算子の期待値の時間発展ならば計算できる場合があるので、波束の中心(位置の期待値)の運動を解析的に計算してみよう。すなわち波動関数の時間発展

に対して、演算子Aの期待値の時間発展は

とかけるから、まず演算子Aの時間発展

を計算してから期待値を計算すればよい。なお式を見やすくするために、以下では期待値は次のように書くことにする

まず、位置x(t)と運動量p(t)の時間発展を、一般のポテンシャルV(x)の場合に計算する

Baker-Hausdorffの公式を使って

ここで交換関係は

一様な場の場合

V'(x)c数になるから、tの高次の項はゼロになって

調和振動子の場合

V'(x)=xになるから、xpが交互に現れて

◇◇

ここで、初期状態として、位置の期待値がx0、運動量の期待値がp0である波束|ψ>採る

波束|ψ>は、位置と運動量の期待値がゼロである波束|φ>を使って次のように作れる。

なぜならば、Baker-Hausdorffの公式をつかうと

となるから、演算子

をかけると位置が x0、運動量がp0だけ平行移動するからである。

ちなみに波束|ψ>の座標表現は次のようになるので、φ(x)は波束|ψ>の振幅である。

◇◇◇

後で使うために、初期状態|ψ>のいろいろな期待値を計算しておく

今、演算子xまたはpA,B(期待値をA0,B0)と書くことにすると、xp積の期待値は

|φ>の期待値に帰着する。したがってxpの多項式f(x,p)に対して

と、平行移動して考えればよいことがわかる。

ここで波束|φ>の位相を実数と決める

<φ|xp|φ>は純虚数になるので

xpの積の期待値は

さらに波束|φ>をガウシアン(a)と決める

xp2乗の期待値は

ここで定積分は次のように求められる。

の両辺sで微分して

s=1おいて

◇◇◇

上記の波束|ψ>を初期状態としたとき、期待値の時間発展は、一様な場の場合(1)から

調和振動子の場合(2)

となり、どちらの場合も波束の中心は古典力学と同じ運動をする

◇◇◇◇

次に、幅の時間発展を計算する一様な場の場合 Fc数であることに注意すれば

だから、(1)から

と、自由運動(F=0)の場合と同じになることがわかる。

上記の波束|ψ>を初期状態としたとき、期待値の時間発展は

となり、波束はだんだん広がっていく

特に、波|ψ>がガウシアン(a)の場合は(4)(5)使って

これは、前々項で波動関数そのものを計算した結果

と一致している

調和振動子の場合は、時間発展x(t)xpの一次式であることは一様な場の場合と同じなので

となり、波束の幅は位置と同じ周期で振動する。

特に、波束|ψ>がガウシアン(a)の場合は(4)(5)を使って

特に初期状態が基底状態|0>と同じ形であるときはa=1なので、幅は一定のまま保たれるが、これは前々項で波動関数そのものを計算した結果

と一致している


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