波束の中心の運動を解析的に解く
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(1) 一様な場(F=const)において
波束(初期の位置x0,運動量p0)の位置の期待値は、古典力学と同じく等加速度運動する。
また、波束(初期の幅a,振幅は実数)の幅の期待値は自由運動(F=0)のときと同じく広がっていく。
(2) 調和振動子において
波束(初期の位置x0,運動量p0)の位置の期待値は、古典力学と同じく振動する。
また、波束(初期の幅a,振幅は実数)の幅の期待値は位置と同じ周期で振動する。 ただし初期状態の幅が基底状態と同じ(a=1)のときは変化しない。
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前項と前々項は波動関数そのものを計算できる例だったが、それ以外でも、演算子の期待値の時間発展ならば計算できる場合があるので、波束の中心(位置の期待値)の運動を解析的に計算してみよう。すなわち波動関数の時間発展
に対して、演算子Aの期待値の時間発展は
とかけるから、まず演算子Aの時間発展
を計算してから期待値を計算すればよい。なお式を見やすくするために、以下では期待値は次のように書くことにする。
◇
まず、位置x(t)と運動量p(t)の時間発展を、一般のポテンシャルV(x)の場合に計算する
ここで交換関係は
一様な場の場合は
V'(x)はc数になるから、tの高次の項はゼロになって
調和振動子の場合は
V'(x)=xになるから、xとpが交互に現れて
◇◇
ここで、初期状態として、位置の期待値がx0、運動量の期待値がp0である波束|ψ>を採る。
波束|ψ>は、位置と運動量の期待値がゼロである波束|φ>を使って次のように作れる。
なぜならば、Baker-Hausdorffの公式をつかうと
となるから、演算子
をかけると位置が x0、運動量がp0だけ平行移動するからである。
ちなみに波束|ψ>の座標表現は次のようになるので、φ(x)は波束|ψ>の振幅である。
◇◇◇
後で使うために、初期状態|ψ>のいろいろな期待値を計算しておく。
今、演算子xまたはpをA,B(期待値をA0,B0)と書くことにすると、xやpの積の期待値は
と|φ>の期待値に帰着する。したがってxとpの多項式f(x,p)に対して
と、平行移動して考えればよいことがわかる。
ここで波束|φ>の位相を実数と決めると
<φ|xp|φ>は純虚数になるので
xとpの積の期待値は
さらに波束|φ>をガウシアン(幅a)と決めると
xとpの2乗の期待値は
ここで定積分は次のように求められる。
の両辺をsで微分して
s=1とおいて
◇◇◇
上記の波束|ψ>を初期状態としたとき、期待値の時間発展は、一様な場の場合は式(1)から
調和振動子の場合は式(2)から
となり、どちらの場合も波束の中心は古典力学と同じ運動をする。
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次に、幅の時間発展を計算する。一様な場の場合は Fがc数であることに注意すれば
だから、式(1)から
と、自由運動(F=0)の場合と同じになることがわかる。
上記の波束|ψ>を初期状態としたとき、期待値の時間発展は
となり、波束はだんだん広がっていく。
特に、波束|ψ>がガウシアン(幅a)の場合は式(4)(5)を使って
これは、前々項で波動関数そのものを計算した結果
と一致している
調和振動子の場合は、時間発展x(t)がxとpの一次式であることは一様な場の場合と同じなので
となり、波束の幅は位置と同じ周期で振動する。
特に、波束|ψ>がガウシアン(幅a)の場合は式(4)(5)使って
特に初期状態が基底状態|0>と同じ形であるときはa=1なので、幅は一定のまま保たれるが、これは前々項で波動関数そのものを計算した結果
と一致している