補足 - Baker-Hausdorffの公式

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演算A,B対して次の恒等式が成り立つ。

特に、演算子A,Bの交換子がcになる場合は

位置qと運動量pについて(1')使うと

(1)を示すには、実数t関数

Taylor展開してt=1とおけばよい。

まず

以下同様にして

となるからTaylor開は

ここでt=1とおくと、公式(1)得られる。

特に、演算子A,Bの交換子がc数になる場合は

(1)

となる。

(2)を示すには、次の実数tの関数F(t)の微分方程式を一旦作ってから、その解を求めればよい。

を微分して

と微分方程式が得られる。これの解は

t=0のとき一致するように比例定数を決めると

ここt=1とおくと、公式(2)が得られる。

◇◇

qと運動量pに対して、a=p, b=f(q)(1')代入すると

だから(→補足-q,pの交換関係の公式


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