補足 - Baker-Hausdorffの公式
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演算子A,Bに対して次の恒等式が成り立つ。
特に、演算子A,Bの交換子がc数になる場合は
位置qと運動量pについて(1')を使うと
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公式(1)を示すには、実数tの関数
をTaylor展開してt=1とおけばよい。
まず1階微分は
2階微分は
以下同様にしてTaylor展開は
ここでt=1とおくと、公式(1)が得られる。
◇
特に、演算子A,Bの交換子がc数になる場合は
(1)の右辺は第2項で止まる。
公式(2)を示すには、次の実数tの関数F(t)の微分方程式を一旦作ってから、その解を求めればよい。
を微分して
と微分方程式が得られる。これの解は
t=0のとき一致するように比例定数を決めると
ここでt=1とおくと、公式(2)が得られる。
◇◇
位置qと運動量pに対して、a=p, b=f(q)を(1')に代入すると
だから（→補足-q,pの交換関係の公式）
