調和振動子を行列力学で解く

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【問題】

調和振動子のハミルトニアンが座qと運動量pの式で与えられたとき

Hの固有値(エネルギー) En(小さい方からn=0,1,..とする)と固有ベクトル|n>求む。

ここqpは非可換なエルミート演算子(可観測だが同時には確定できない)である

【解】

ここで|0>は次の方程式で決まり

座標表現では

行列力学の解法を、1次元の調和振動子に適用してみよう。ただし、解法に集中したいので、係数は簡単のため全部1とする

まずH0=Hとおいて平方完成する。pqの2次の項しかないので

の形に置いてみると

から、c0が大きくなる方をとって

と平方完成され、最小固有値E0と固有ベクトル|0>

と決まる。ちゃんと解|0>が存在するかは保留して先に進む。

◇◇

aaの順番をひっくりかえしてH1作ると

となり、同じ演算子aで平方完成できてしま。すなわち

◇◇◇

以下同様に

となるから、すべての固有値と固有ベクトルが得られる。

ここで|0>は次の方程式で決まる。

一応、固有ベクトルを規格化しておくと

と規格化因子Cn求まって

◇◇◇◇

最後|0>が存在するか確かめる。|0>方程式は

座標表現では

と微分方程式になり、無限遠(q→±∞)でゼロになる解は

とちゃんと存在している。


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