調和振動子を行列力学で解く
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【問題】 調和振動子のハミルトニアンが座標qと運動量pの式で与えられたとき
Hの固有値(エネルギー) En（小さい方からn=0,1,..とする）と固有ベクトル|n>を求む。
ここでqとpは非可換なエルミート演算子(可観測だが同時には確定できない)である
【解】
ここで|0>は次の方程式で決まり
座標表現では
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行列力学の解法を1次元の調和振動子に適用してみよう。ただし、解法に集中したいので、係数は簡単のため全部1とする。
◇
まずH0=Hとおいて平方完成する。pとqの2次の項しかないので
の形に置いてみると
だから、c0が大きくなる方をとって
と平方完成され、最小固有値E0と固有ベクトル|0>は
と決まる。ちゃんと解|0>が存在するかは保留して先に進む。
◇◇
a†aの順番をひっくりかえしてH1を作ると
となり、同じ演算子aで平方完成できてしまう。すなわち
◇◇◇
以下同様に
となるから、すべての固有値と固有ベクトルが得られる。
ここで|0>は次の方程式で決まる。
一応、固有ベクトルを規格化しておくと
と規格化因子Cnが求まって
◇◇◇◇
最後に|0>が存在するか確かめる。|0>の方程式は
座標表現では
と微分方程式になり、無限遠方(q→±∞)でゼロになる解は
とちゃんと存在している。