水素原子を行列力学で解く

[] [] []


【問題】

水素原子のハミルトニアン(角運動lの場合)が動径方向の座標rと運動量prの式で与えられたとき

Hの固有値(エネルギー) En(小さい方からn=0,1,..とする)と固有ベクトル|n>求む。

ここでrprは非可換なエルミート演算子(可観測だが同時には確定できない)である

【解】

ここで|0>は次の方程式で決まり

座標表現では

いよいよ、行列力学の解法を水素原子に適用してみよう3次元なのでハミルトニアンを動径方向の座標rと運動量prの式で表す。(補足-運動エネルギーを球座標で表す) ただし、解法に集中したいので、係数は簡単のため次のようにする

まずH0=Hとおいて平方完成する。prは2次の項しかないので

の形に置いてみると

だから(→補足-q,pの交換関係の公式)f(r)の方程式は

解の形を予想して

とおいて方程式に代入すると

両辺の係数を比較するとα2次方程式が得られ、それを解くと、

c0が大きくなる方の解をとると、H0は次のように平方完成される。

したがって、最小固有値E0と固有ベクトル|0>

と決まる。ちゃんと解|0>が存在するかは保留して先に進む。

◇◇

aaの順番をひっくりかえしてH1作ると

となり、H0ll+1に置き換えたのと同じになっているから、同様に平方完成できる。

◇◇◇

以下同様にして

となるから、すべての固有値と固有ベクトルが得られる

ここで|0>は次の方程式で決まる。

◇◇◇◇

最後に|0>が存在するか確かめる。|0>の方程式は

座標表現では

と微分方程式になる。計算しやすくするため

とおくと

r0傍では

無限遠方(r→∞)

と漸近形が得られるから、解の形を予想して

とおいて元の方程式に代入すると

と成り立っている。したがって

が最小固有値に対する固有ベクトルである。

◇◇◇◇

水素原子もシュレディンガー方程式で解くと、Laguerre多項式というもののお世話にならないといろいろ計算できないが、行列力学で解くと、基底状態に上昇演算子を作用させた形になるので、行列力学の方が見通しよく計算できそうである。


[] [] []