水素原子を行列力学で解く
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【問題】 水素原子のハミルトニアン(角運動量lの場合)が動径方向の座標rと運動量prの式で与えられたとき
Hの固有値(エネルギー) En(小さい方からn=0,1,..とする)と固有ベクトル|n>を求む。
ここでrとprは非可換なエルミート演算子(可観測だが同時には確定できない)である
【解】
ここで|0>は次の方程式で決まり
座標表現では
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いよいよ、行列力学の解法を水素原子に適用してみよう。３次元なのでハミルトニアンを動径方向の座標rと運動量prの式で表す。(→補足-運動エネルギーを球座標で表す) ただし、解法に集中したいので、係数は簡単のため次のようにする。
◇
まずH0=Hとおいて平方完成する。prは２次の項しかないので
の形に置いてみると
だから（→補足-q,pの交換関係の公式)、f(r)の方程式は
解の形を予想して
とおいて方程式に代入すると
両辺の係数を比較するとαの2次方程式が得られ、それを解くと、
c0が大きくなる方の解をとると、H0は次のように平方完成される。
したがって、最小固有値E0と固有ベクトル|0>は
と決まる。ちゃんと解|0>が存在するかは保留して先に進む。
◇◇
a†aの順番をひっくりかえしてH1を作ると
となり、H0のlをl+1に置き換えたのと同じになっているから、同様に平方完成できる。
◇◇◇
以下同様にして
となるから、すべての固有値と固有ベクトルが得られる。
ここで|0>は次の方程式で決まる。
◇◇◇◇
最後に|0>が存在するか確かめる。|0>の方程式は
座標表現では
と微分方程式になる。計算しやすくするため
とおくと
r＝0近傍では
無限遠方(r→∞)では
と漸近形が得られるから、解の形を予想して
とおいて元の方程式に代入すると
と成り立っている。したがって
が最小固有値に対する固有ベクトルである。
◇◇◇◇
水素原子もシュレディンガー方程式で解くと、Laguerre多項式というもののお世話にならないといろいろ計算できないが、行列力学で解くと、基底状態に上昇演算子を作用させた形になるので、行列力学の方が見通しよく計算できそうである。