井戸型ポテンシャル内の粒子を行列力学で解く
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【問題】 井戸型ポテンシャル内の粒子のハミルトニアンが座標qと運動量pの式で与えられたとき
Hの固有値(エネルギー) En(小さい方からn=0,1,..とする)と固有ベクトル|n>を求む。
ここでqとpは非可換なエルミート演算子(可観測だが同時には確定できない)である
【解】
ここで|0>は次の方程式で決まり
座標表現では
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ここまで、調和振動子と水素原子について行列力学による解法を見てきた印象では、Hermite多項式などが必要となる波動力学よりも、行列力学の方が計算の見とおしがよかったが、シュレディンガー方程式で初等的に解ける井戸型ポテンシャルではどうなのか見てみよう。
◇
深さが有限な井戸型ポテンシャルは計算が難しそうなので、深さが無限の場合を解くことにする。
ハミルトニアンは
まずH0=Hとおいて平方完成する。pは２次の項しかないので
の形に置いてみると
だから（→補足-q,pの交換関係の公式)、f(q)の方程式は
|q|≦L/2では、この方程式の一般解は、積分定数をCとおいて
|q|＞L/2ではf(q)=±∞になればよさそうなので、f(q)が境界q=±Lで無限大になるようにしたい。すると、tanは±π/2で無限大になることから
と合わせるしかなく、結局、H0は次のように平方完成される。
◇◇
次に、a†aの順番をひっくりかえしてH1を作ると
さっきと同様に
の形に置いてみると、f(q)の方程式は
解の形を予想して
とおいて代入すると、
だから係数を比較して、αの2次方程式になる
c1が大きくなる方の解αをとれば、結局H1は次のように平方完成される。
◇◇◇
H0,H1を平方完成した形から類推して、以下同様にn=0,1,2,...に対して
の形に平方完成できると予想して、anの漸化式
を計算してみる。
これらをanの漸化式に代入して係数を比較すると、αnの2次方程式と、αnからcnを求める式が得られる。
cnが大きくなる方の解αnをとれば、c nの漸化式が得られる。
この漸化式からc nが求められて
結局、Hnは次のように平方完成される。
◇◇◇◇
したがって、すべての固有値と固有ベクトルが得られた。
ここで|0>は次の方程式で決まり
座標表現では
と微分方程式になり、積分すると
境界q=±Lでゼロになる解は
とちゃんと存在している。
◇◇◇◇◇
さすがに井戸型ポテンシャルの場合は、シュレディンガー方程式の方が簡単である。