補足 - pqの交換関係の公式

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qp交換関係を

とすると、解析的関f( )に対して次の公式が成り立つ

最初f(q)qのべき乗の場合に(1)成り立つことを示す。

n=1のとき(1')は前提条件そのものなので成り立っている。

n=k (k=2,3,...)のときは

したがって、もn=k-1とき

が成り立っていれば、n=kのときも成り立つことがわかる。

n=0すなわちc数のときは、pと可換なので(1')成り立っている。

◇◇

n=-1のときは

となり(1')は成り立っている。

n=-k (k=2,3,...)ときは、

したがってn=-(k-1)とき

が成り立っていれば、n=kのときも成り立つことがわかる。

◇◇◇

以上f(q)qのべき乗で展開できる関数の場合に(1)成り立つことが示せた。

さらにqc数だけ平行移動しても同じ交換関係が成り立っているから

局、f(q)(q-c)のべき乗で展開できる関数(解析的関数)の場合に(1)が成り立つことが示せた。

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q,pの交換関係においてqp入れ替えると

符号が変わるだけだから(1)q,pを入れ替えると

なわち(2)が成り立つことがわかる。


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