補足 - pとqの交換関係の公式

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qとpの交換関係を

とすると、解析的関数f(・)に対して次の公式が成り立つ

最初にf(q)がqのべき乗の場合に(1)が成り立つことを示す。

n=1のとき(1')は前提条件そのものなので成り立っている。

n=k (k=2,3,...)のときは

したがって、もしn=k-1のとき

が成り立っていれば、n=kのときも成り立つことがわかる。

◇

n=0すなわちc数のときは、pと可換なので(1')は成り立っている。

◇◇

n=-1のときは

となり、(1')は成り立っている。

n=-k (k=2,3,...)のときは、

したがってn=-(k-1)のとき

が成り立っていれば、n=kのときも成り立つことがわかる。

◇◇◇

以上でf(q)がqのべき乗で展開できる関数の場合に(1)が成り立つことが示せた。

さらにqをc数だけ平行移動しても同じ交換関係が成り立っているから

結局、f(q)が(q-c)のべき乗で展開できる関数(解析的関数)の場合に(1)が成り立つことが示せた。

◇◇◇◇

q,pの交換関係においてqとpを入れ替えると

符号が変わるだけだから(1)でq,pを入れ替えると

すなわち(2)が成り立つことがわかる。

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