調和振動子を波動力学で解く

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【問題】 

調和振動子のシュレディンガー方程式が与えられたとき

境界条件のもとで

エネルギーEn(小さい方からn=0,1,..とする)とそれに対応する波動関数φ求む。

【解法】

(1) まず無限遠(q→±∞)での解φの漸近形を求める(発散しない方をとる)

(2)φを、漸近形とべき級数の積の形とおいて、シュレディンガー方程式に代入し係数cn求める。

(3) 求めたcnに対してφが無限遠で発散しないためには、級数が有限で打ち切られなければならないことから、離散値のEが決まる。

【解】

行列力学と波動力学の解法を比べるために、前項の1次元の調和振動子を波動力学ではどのように解いているかを見てみよう

波動力学では、シュレディンガー方程式

を境界条件(これは波動関φ(q)が無限遠で発散しないという物理的意味を与えている)

のもとで解く問題になる。解法のあらすじは次のとおり。

(1) まず無限遠(q→±∞)での解φの漸近形を求める(発散しない方をとる)

(2) φを、漸近形とべき級数の積の形とおいて、シュレディンガー方程式に代入し係数cnを求める

(3) 求めたcnに対してφが無限遠で発散しないためには、級数が有限で打ち切られなければならないことから、離散値のE決まる

◇◇

実際に計算してみる。φを漸近形とべき級数の積の形とおいて

シュレディンガー方程式

に代入すると

れにf(q)の級数の形を代入して

nについて偶数列と奇数列の2とおりがあり

φが得られる。隣接項の比をとると

1未満になっているので、この級数はqの全範囲で収束する。

◇◇◇

次に、φが無限遠で発散しないかを調べる。無限遠(q→±∞)では大きいべきの項が支配的だから

と近似されて

したがって

と、級数が有限で打ち切られなければφは無限遠で発散してしまう。そうならないためには(1)から

Eは離散値でなければならない。このEnに対して級数の係数を偶数列(n=2k)と奇数列(n=2k+1)分けて求めると

n=2kのと

n=2k+1とき

したがって、波動関数は規格化因子をCnとおいて次のようになる

最初の方を書き下すと

◇◇◇◇

せっかく求めた波動関数だが、このままでは計算に使うのに不便である。例えば直交関係

でさえ計算できない。教科書では

・調和振動子の場合はHermitte多項式

・水素原子の場合はLaguerre多項

と、既に計算されている結果(母関数、微分方程式、漸化式)を使っているが、これらの結果を知らなければ難しい。こうして比べてみると、一見とっつきやすい波動力学よりも、むしろ行列力学の方が見通しよく計算できそうである


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