補足 - 運動エネルギーを球座標で表す
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3次元の座標ｒと運動量pについて
エルミート性と交換関係
が成り立つとき、動径方向の座標ｒと運動量prを次のように定義すると
これらはエルミートであり、次の交換関係を満たす。
さらに、運動エネルギーは動径方向と角度方向に分解できる。
座標表現では
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3次元の中心ポテンシャルの場合は、xyz座標より球座標で表した方が都合がよいので、運動エネルギーを動径方向と角度方向に分解した形を導く。なお、ここの計算は「ハイゼンベルグ形式による量子力学」(グリーン)によっている。
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3次元の座標ｒと運動量pについて
異なる軸方向は同時観測できる(可換)とするのが自然だから、交換関係は次のとおりとする。
またエルミートであるとする。
ここで、後で使うことになる交換関係を示しておく。
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動径方向の座標ｒと運動量prの自然な定義は
である。交換関係を計算してみると、
となり良さそうである。なお途中で次の公式を使った(→補足-qとpの交換関係の公式)
しかし、prがこの定義だとエルミートにならない。実際に計算してみると
一方
だから、右辺どうしを比べると定数2iだけ差がでる。
そこで、この差の半分のiだけprをシフトすればエルミートになる。
したがって、エルミートなprとしては次のように定義すればよい。-i/rを足すだけなのでrとの交換関係は変わらない。
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次に、運動エネルギーが動径方向と角度方向に分解できることを示す。
3つのベクトルの外積の公式
を使うと、運動量pを動径方向rに平行な成分と垂直な成分に分解できる。
左からpの内積をとると
ここで
を使うと
ここで、右辺の第1項は交換関係とprの定義
を使うと
また、右辺の第2項は、ベクトルの公式と交換関係
を使うと
結局、右辺は次のようになることが示せた。
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最後に、この式を座標表現で表してみる。
座標表現では運動量は
であり、球座標では
だから、動径方向の運動量は
したがって
球座標のラプラシアン
と動径方向の部分を比べてみると、見た目は違うが一致している
