補足 - 運動エネルギーを球座標で表す

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3次元の座標と運動量pについて

エルミート性と交換関係

が成り立つとき、動径方向の座標rと運動量pr次のように定義すると

これらはエルミートであり、次の交換関係を満たす。

さらに、運動エネルギーは動径方向と角度方向に分解できる。

座標表現では

3次元の中心ポテンシャルの場合は、xyz座標より球座標で表した方が都合がよいので、運動エネルギーを動径方向と角度方向に分解した形を導く。なお、ここの計算は「ハイゼンベルグ形式による量子力学」(グリーン)よっている。

3次元の座と運動量pについて

異なる軸方向は同時観測できる(可換)とするのが自然だから、交換関係は次のとおりとする。

またエルミートであるとする。

ここで、後で使うことになる交換関係を示しておく。

◇◇

動径方向の座標rと運動量prの自然な定義は

である。交換関係を計算してみると、

となり良さそうである。なお途中で次の公式を使った(補足-qとpの交換関係の公式)

しかしprがこの定義だとエルミートにならない。実際に計算してみると

一方

だから、右辺どうしを比べると定数2iだけ差がでる。

そこで、この差の半分iだけprをシフトすればエルミートになる。

したがって、エルミートprとしては次のように定義すればよい-i/rを足すだけなのでrとの交換関係は変わらない。

◇◇◇

次に、運動エネルギーが動径方向と角度方向に分解できることを示す

3つのベクトルの外積の公式

を使うと、運動量pを動径方向r平行な成分と垂直な成分に分解できる。

左からpの内積をとると

ここで

を使うと

ここで、右辺の第1項は交換関係とpr定義

を使うと

また、右辺の第2項は、ベクトルの公式と交換関係

を使うと

結局、右辺は次のようになることが示せた。

◇◇◇◇

最後に、この式を座標表現で表してみる

座標表現では運動量は

であり、球座標では

だから、動径方向の運動量は

したがって

球座標のラプラシアン

と動径方向の部分を比べてみると、見た目は違うが一致している


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