フィルタ(畳み込み)と窓(かけ算)

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t軸でフィルタをかける(畳み込み)ことは、ω軸で窓をかける(かけ算)こと

t軸で窓をかける(かけ算)ことは、ω軸でフィルタをかける(畳み込み)こと

h(t)x(t)の畳み込み(convolution)とは、片方を左右ひっくり返して両者の重なりを求める演算である。

t軸での2つの信号の畳み込みは、ω軸では2つの周波数スペクトルのかけ算になっている

したがって、畳み込みは、一旦フーリエ変換したものをかけ算してから逆フーリエ変換して計算できる

フーリエ変換を経由して計算するのは遠回りに見えるが、高速フーリエ変換というアルゴリズムがあるおかげで、長い畳み込み積分を数値計算するときは左辺を直接計算するよりも右辺を計算した方が速い。

畳み込み積分の意味は少しわかりにくいが、信号x(t)にフィルタh(t)をかける操作だと思えばよい。

一方、かけ算は窓をかける操作なので、ω軸で窓をかけることは、t軸でフィルタをかけることになる

() ω軸で帯域幅Wだけ切り取ると、t軸ではバンドパスフィルタsin(Wt)/tがかかる

ω軸上の矩形窓の逆フーリエ変換はsin(Wt)/tだったから(いろいろな関数のフーリエ変換)t軸ではこのフィルタがかかる。例えばステップ入力波形に対して、出力波形はリップルが生じることがわかる。(オシロスコープのsinc補間表示で見える波形がこれ)

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フーリエ変換と逆フーリエ変換の対称性から逆も成り立ち、t軸で窓をかけることは、ω軸でフィルタをかけることになる

() t軸で幅τだけ切り取ると、ω軸ではsin(ωτ)/ωのフィルタがかかる

矩形パルスのフーリエ変換はsin(ωτ)/ωだったから、例えば正弦波のスペクトルのδ関数に対してこのフィルタがかかりスペクトルの幅が1/τに広がることがわかる。

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畳み込みは信号x(t)にフィルタh(t)をかける操作と思えばよいといったが、2つのフィルタを直列接続する操作もまた、フィルタどうしの畳み込み積分になっている(補足 - ガウシアンフィルタの直列接続)

畳み込みの順序は交換可能なので、フィルタの直列接続の順序も交換可能ということになる。


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