離散化と周期化
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t軸で信号x(t)を周期化すると、ω軸で周波数スペクトルX(ω)は離散化(線スペクトル)する
t軸で信号x(t)を離散化(サンプリング)すると、ω軸で周波数スペクトルX(ω)は周期化する
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t軸で周期化すると、(1/周期)の周波数成分が大きくなるからω軸で離散化するのは直観的にわかる。フーリエ変換の対称性から、逆にt軸でサンプリングするとω軸で周期化するはずだが、こちらは直観的にわかりにくい。
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信号が周期化するとω軸でどうなるかを調べるため、まず有限個の繰り返しを考える。
区間-T/2<t<T/2内で定義された孤立信号xT(t)を-NからNまで繰り返すと
この周期信号x(t)のフーリエ変換は
と区間-T/2<t<T/2内の孤立信号xT(t)のフーリエ変換XT(ω)に、次のディリクレ核という因子がかかったものになる。
ディリクレ核は周波数f=k/T(k=整数)にピークをもち(幅≒1/NT,高さ≒2N)、N→∞では周期的δ関数になる。(→補足-ディリクレ核)
したがって、xT(t)を無限に繰り返した周期関数x(t)の周波数スペクトルは、xT(t)の周波数スペクトルXT(ω)を包絡線とする線スペクトルになる。
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逆に、t軸で信号x(t)を離散化(サンプリング)したとき、ω軸ではどうなるかを調べる。t軸でサンプリングすることは周期的δ関数をかけること
だから、ω軸では畳み込みをすればよい。t軸の周期的δ関数の周波数スペクトルはω軸の周期的δ関数(→補足-ディリクレ核)だから、これと元の信号x(t)の周波数スペクトルX(ω)を畳み込むと
すなわち、サンプリング周波数1/tsで離散化した信号xs(t)の周波数スペクトルXs(ω)は、元のX (ω)の周期関数(周期ω=2π/ts)になる
上図ではω=0付近にある周波数スペクトルのコピーがω軸全体に繰り返されるように描いたが、もし周波数スペクトルが高い周波数ω0付近にだけある場合でも同じようにコピーが繰り返されるから、サンプリングという操作は周波数を落とすダウンコンバータとしても使える(→補足-アンダーサンプリング)