離散化と周期化

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t軸で信号x(t)を周期化すると、ω軸で周波数スペクトルX(ω)は離散化(線スペクトル)する

t軸で信号x(t)を離散化(サンプリング)すると、ω軸で周波数スペクトルX(ω)は周期化する

t軸で周期化すると、(1/周期)の周波数成分が大きくなるからω軸で離散化するのは直観的にわかる。フーリエ変換の対称性から、逆にt軸でサンプリングするとω軸で周期化するはずだが、こちらは直観的にわかりにくい。

信号が周期化するとω軸でどうなるかを調べるため、まず有限個の繰り返しを考える。

区間-T/2<t<T/2内で定義された孤立信号xT(t)-NからNまで繰り返すと

この周期信x(t)のフーリエ変換は

と区間-T/2<t<T/2内の孤立信号xT(t)のフーリエ変換X(ω)に、次の因子(ディリクレ核という)がかかったものになる。

グラフを描くとわかるように、ディリクレ核は周波数f=k/(k=整数)にピークをもち(幅≒1/NT,高さ≒2N) N→∞の極限ではディリクレ核は周期的δ関数になる。(補足-ディリクレ核)

したがってxT(t)を無限に繰り返した周期関数x(t)の周波数スペクトルは、xT(t)の周波数スペクトルXT(ω)を包絡線とする線スペクトルになる

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逆にt軸で信号x(t)を離散化 (サンプリング)したとき、ω軸ではどうなるかを調べる。t軸でサンプリングすることは周期的δ関数をかけること

だからω軸では畳み込みをすればよい。t軸の周期的δ関数の周波数スペクトルはω軸の周期的δ関数(補足-ディリクレ核)だから、これと元の信号x(t)の周波数スペクトルX(ω)と畳み込むと

すなわち、ンプリング周波数1/tsで離散化した信号xs(t)の周波数スペクトルXs(ω)は、元のX (ω)の周期関数(周期ω/2π=1/ts)なる

上図でω=0付近にある周波数スペクトルのコピーがω軸全体に繰り返されるように描いたが、もし周波数スペクトルが高い周波数ω0付近にだけある場合でも同じようにコピーが繰り返されるから、サンプリングという操作は周波数を落とすダウンコンバータとしても使える(補足-アンダーサンプリング)


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